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Fundamentale Fragen

  1. Welches Tier ist das beste?
  2. Wie sollen Tiere ausgewählt werden, dass ihre Nachkommen besser sind als die aktuelle Population

Bestes Tier

Genetische Veränderung

$$y = \mu + g + \epsilon$$

Zerlegung des Genotypischen Wertes

$$ y = \mu + a + d + i + \epsilon$$

$$ y = \mu + a + e$$

Auswahl der Elterntiere

Zwei Werkzeuge

  1. Selektion
  2. Gezielte Anpaarung

Selektion

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Vermehrung

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Resultat der gerichteten Selektion

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                             psOdgDir = "../zl_hs_2016_w3_course_notes_index/odg/",
                             pnPaperWidthScale = 0.8)

ED: Elterndurchschnitt, SG: Selektionsgrenze, RD: Remontendurchschnitt

Gezielte Paarung

Zuchtwertschätzung mit verschiedenen Informationsquellen

Regression

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                             psOdgDir = "../zl_hs_2016_w3_course_notes_index/odg/",
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Einzelne Eigenleistung

$$\rightarrow \hat{a}_i = h^2(y_i - \mu)$$

Einzelne Eigenleistung II

$$r_{a,y} = \frac{cov(a,y)}{\sigma_a \sigma_y} = \frac{\sigma_a^2}{\sigma_a \sigma_y} = h$$

\begin{equation} R = i r_{a,y}^2 \sigma_y = i h^2 \sigma_y \nonumber \end{equation}

wobei $i$ die Selektionsintensität ist. Diese entspricht der Überlegenheit der selektierten Individuen ausgedrückt in Einheiten einer phänotypischen Standardabweichung.

Wiederholte Messungen

$$\hat{a}_i = b(\bar{y}_i - \mu)$$

Wiederholte Messungen II

$$b = \frac{cov(a, \bar{y})}{var(\bar{y})}$$

$$cov(a,\bar{y}) = cov(a, a + pe + {1\over n}\sum te) = \sigma_a^2$$

$$var(\bar{y}) = var(a) + var(pe) + {1\over n} var(te) = \left[ t + (1-t)/n \right]\sigma_y^2$$

Wiederholte Messungen III

$$\hat{a}_i = b(\bar{y}_i - \mu) = \frac{nh^2}{1+(n-1)t}\ (\bar{y}_i - \mu)$$

Wiederholte Messungen IV

\begin{equation} = \frac{h\sqrt{n}}{\sqrt{(1 + (n-1)t)}} = \sqrt{\frac{nh^2}{1+(n-1)t}} = \sqrt{b} \nonumber \label{eq:AccBreedValRepeat} \end{equation}

$${r_{a,\bar{y}} \over r_{a,y}} = \frac{\sqrt{\frac{nh^2}{1+(n-1)t}}}{h} = \sqrt{\frac{n}{1+(n-1)t}}$$

Nachkommen

Nachkommen II

wobei: $a_i = {1\over 2}(a_s + a_{d(i)}) + m_i$

$$\tilde{y}s = \mu + {1\over 2}a_s + {1\over n}\sum_i a{d(i)}/2 + {1\over n}\sum_i e_i$$

Nachkommen III

$$cov(a,\tilde{y}) = cov(a,\mu + {1\over 2}a_s + {1\over n}\sum_i a_{d(i)}/2 + {1\over n}\sum_i e_i)$$ $$= cov(a, {1\over 2}a_s) = {1\over 2}cov(a,a_s) = {1\over 2}var(a)$$

$$var(\tilde{y}) = \left[ t + (1-t)/n \right]\sigma_y^2$$

mit $t = \frac{0.25 \sigma_a^2}{\sigma_y^2} = {1\over 4}h^2$

Nachkommen IV: Regressionskoeffizient

\begin{eqnarray} b & = & \frac{{1\over 2}\sigma_a^2}{\left[ t + (1-t)/n \right]\sigma_y^2} \nonumber\ & = & \frac{{1\over 2}h^2\sigma_y^2}{\left[ {1\over 4}h^2 + (1-{1\over 4}h^2)/n \right]\sigma_y^2} \nonumber\ & = & \frac{{1\over 2}nh^2}{ {1\over 4}nh^2 + (1-{1\over 4}h^2) }\nonumber\ & = & \frac{2nh^2}{nh^2 + 4 - h^2}\nonumber\ & = & \frac{2n}{n + {(4 - h^2)\over h^2}}\nonumber\ & = & \frac{2n}{n + k}\nonumber \label{eq:RegKoeffOffspring} \end{eqnarray}

wobei $k = {(4 - h^2)\over h^2}$

Nachkommen V: Zuchtwert und Genauigkeit

$$\hat{a}_s = \frac{2n}{n + k}\ (\tilde{y}_s - \mu)$$

\begin{eqnarray} r_{a,\tilde{y}} & = & \frac{cov(a,\tilde{y})}{\sqrt{var(a)\ var(\tilde{y})}}\nonumber\ & = & \frac{{1\over 2}var(a)}{\sqrt{var(a)\ \left[ {1\over 4}h^2 + (1-{1\over 4}h^2)/n \right]\sigma_y^2}}\nonumber\ & = & \frac{{1\over 2}h^2\sigma_y^2}{\sqrt{h^2\sigma_y^2\ \left[ {1\over 4}h^2 + (1-{1\over 4}h^2)/n \right]\sigma_y^2}}\nonumber\ & = & \sqrt{\frac{nh^2}{nh^2 + (4-h^2)}}\nonumber\ & = & \sqrt{\frac{n}{n+k}}\nonumber \label{eq:AccBreedValOffspring} \end{eqnarray}

Selektionsindex

$$I_i = \hat{a}_i = b_1(y_1 - \mu_1) + b_2(y_2 - \mu_2) + b_3(y_3 - \mu_3) + ... $$

Gesamtzuchtwert

$$H = w_1 * a_1 + w_2 * a_2 + w_3 * a_3 + ...$$

$$I = \hat{H} = b_1 * x_1 + b_2 * x_2 + ...$$

wobei $x_i$ verfügbare Informationen, meist mit BLUP geschätzte Zuchtwerte.

Indexgleichung

$$Pb = Gw$$

wobei $P$ die Co-Varianzmatrix der Informationen im Index und $G$ die genetische Co-Varianzmatrix zwischen Informationen im Index und den Merkmalen im Gesamtzuchtwert

$$b = P^{-1}Gw$$



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