knitr::opts_chunk$set(echo = FALSE, results = 'asis')
$$y = \mu + g + \epsilon$$
$$ y = \mu + a + d + i + \epsilon$$
$$ y = \mu + a + e$$
Zwei Werkzeuge
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ED: Elterndurchschnitt, SG: Selektionsgrenze, RD: Remontendurchschnitt
Gegensatz: Quantitative Genetik - Berechnung der wahren Zuchtwerte aufgrund
Hier: Schätzung der Zuchtwerte aufgrund von phänotypischen Beobachtungen
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$$\rightarrow \hat{a}_i = h^2(y_i - \mu)$$
$$r_{a,y} = \frac{cov(a,y)}{\sigma_a \sigma_y} = \frac{\sigma_a^2}{\sigma_a \sigma_y} = h$$
\begin{equation} R = i r_{a,y}^2 \sigma_y = i h^2 \sigma_y \nonumber \end{equation}
wobei $i$ die Selektionsintensität ist. Diese entspricht der Überlegenheit der selektierten Individuen ausgedrückt in Einheiten einer phänotypischen Standardabweichung.
$$\hat{a}_i = b(\bar{y}_i - \mu)$$
$$b = \frac{cov(a, \bar{y})}{var(\bar{y})}$$
$$cov(a,\bar{y}) = cov(a, a + pe + {1\over n}\sum te) = \sigma_a^2$$
$$var(\bar{y}) = var(a) + var(pe) + {1\over n} var(te) = \left[ t + (1-t)/n \right]\sigma_y^2$$
Einsetzen in Regressionskoeffizienten $$b = \frac{cov(a, \bar{y})}{var(\bar{y})} = \frac{\sigma_a^2}{\left[ t + (1-t)/n \right]\sigma_y^2} = \frac{nh^2}{1+(n-1)t}$$
Einsetzen in geschätzten Zuchtwert
$$\hat{a}_i = b(\bar{y}_i - \mu) = \frac{nh^2}{1+(n-1)t}\ (\bar{y}_i - \mu)$$
\begin{equation} = \frac{h\sqrt{n}}{\sqrt{(1 + (n-1)t)}} = \sqrt{\frac{nh^2}{1+(n-1)t}} = \sqrt{b} \nonumber \label{eq:AccBreedValRepeat} \end{equation}
$${r_{a,\bar{y}} \over r_{a,y}} = \frac{\sqrt{\frac{nh^2}{1+(n-1)t}}}{h} = \sqrt{\frac{n}{1+(n-1)t}}$$
wobei: $a_i = {1\over 2}(a_s + a_{d(i)}) + m_i$
$$\tilde{y}s = \mu + {1\over 2}a_s + {1\over n}\sum_i a{d(i)}/2 + {1\over n}\sum_i e_i$$
$$cov(a,\tilde{y}) = cov(a,\mu + {1\over 2}a_s + {1\over n}\sum_i a_{d(i)}/2 + {1\over n}\sum_i e_i)$$ $$= cov(a, {1\over 2}a_s) = {1\over 2}cov(a,a_s) = {1\over 2}var(a)$$
$$var(\tilde{y}) = \left[ t + (1-t)/n \right]\sigma_y^2$$
mit $t = \frac{0.25 \sigma_a^2}{\sigma_y^2} = {1\over 4}h^2$
\begin{eqnarray} b & = & \frac{{1\over 2}\sigma_a^2}{\left[ t + (1-t)/n \right]\sigma_y^2} \nonumber\ & = & \frac{{1\over 2}h^2\sigma_y^2}{\left[ {1\over 4}h^2 + (1-{1\over 4}h^2)/n \right]\sigma_y^2} \nonumber\ & = & \frac{{1\over 2}nh^2}{ {1\over 4}nh^2 + (1-{1\over 4}h^2) }\nonumber\ & = & \frac{2nh^2}{nh^2 + 4 - h^2}\nonumber\ & = & \frac{2n}{n + {(4 - h^2)\over h^2}}\nonumber\ & = & \frac{2n}{n + k}\nonumber \label{eq:RegKoeffOffspring} \end{eqnarray}
wobei $k = {(4 - h^2)\over h^2}$
$$\hat{a}_s = \frac{2n}{n + k}\ (\tilde{y}_s - \mu)$$
\begin{eqnarray} r_{a,\tilde{y}} & = & \frac{cov(a,\tilde{y})}{\sqrt{var(a)\ var(\tilde{y})}}\nonumber\ & = & \frac{{1\over 2}var(a)}{\sqrt{var(a)\ \left[ {1\over 4}h^2 + (1-{1\over 4}h^2)/n \right]\sigma_y^2}}\nonumber\ & = & \frac{{1\over 2}h^2\sigma_y^2}{\sqrt{h^2\sigma_y^2\ \left[ {1\over 4}h^2 + (1-{1\over 4}h^2)/n \right]\sigma_y^2}}\nonumber\ & = & \sqrt{\frac{nh^2}{nh^2 + (4-h^2)}}\nonumber\ & = & \sqrt{\frac{n}{n+k}}\nonumber \label{eq:AccBreedValOffspring} \end{eqnarray}
$$I_i = \hat{a}_i = b_1(y_1 - \mu_1) + b_2(y_2 - \mu_2) + b_3(y_3 - \mu_3) + ... $$
$$H = w_1 * a_1 + w_2 * a_2 + w_3 * a_3 + ...$$
$$I = \hat{H} = b_1 * x_1 + b_2 * x_2 + ...$$
wobei $x_i$ verfügbare Informationen, meist mit BLUP geschätzte Zuchtwerte.
$$Pb = Gw$$
wobei $P$ die Co-Varianzmatrix der Informationen im Index und $G$ die genetische Co-Varianzmatrix zwischen Informationen im Index und den Merkmalen im Gesamtzuchtwert
$$b = P^{-1}Gw$$
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