In charlotte-ngs/ZLHS2016:

knitr::opts_chunk$set(echo = FALSE)

Verwandtschaftsmatrix

• Wichtig für BLUP Zuchtwertschätzung, da Covarianz bestimmt durch Verwandtschaft
• Tiere ohne phänotypische Leistungen bekommen über Covarianz auch geschätzte Zuchtwerte
• Covarianz-Matrix der Zuchtwerte $a$ gegeben durch

$$var(a) = A * \sigma_a^2$$

wobei: $a$ - Vektor der Zuchtwerte, $A$ - Verwandtschaftsmatrix, $\sigma_a^2$ - genetisch additive Varianz

Graphische Darstellung der Verwandtschaftsmatrix

nNrAni <- 10
suppressPackageStartupMessages(library(pedigreemm))
pedEx1 <- pedigree(sire = as.integer(c(NA,NA,NA,NA,1,3,3,6,6,8)), 
                   dam  = as.integer(c(NA,NA,NA,NA,2,2,4,5,7,9)), 
                   label = as.character(1:nNrAni))
### # show the pedigree
#print(pedEx1)
### # compute relationship matrix
matApedEx1 <- as.matrix(getA(pedEx1))
library(lattice)
new.palette=colorRampPalette(c("black","red","yellow","white"),space="rgb")
levelplot(matApedEx1[1:ncol(matApedEx1),ncol(matApedEx1):1],col.regions=new.palette(20))

Zerlegung der Verwandtschaftsmatrix

\begin{equation} A = L * D * L^T \nonumber \label{eq:RelMatFact} \end{equation}

wobei $L$ eine linke untere Dreiecksmatrix ist und $D$ einer Diagonalmatrix entspricht. Aufgrund dieser Zerlegung lässt sich die Inverse $A^{-1}$ der Verwandtschaftsmatrix $A$ sehr einfach berechnen.

• Grund für Zerlegung:
  • Lösungen von BLUP-Zuchtwertschätzung brauchen Inverse $A^{-1}$
  • Einfachere Invertierung der Faktoren als direkt

Zerlegung der der Zuchtwerte

• Zerlegung des Zuchtwertes $a_i$ von Tier $i$ mit Eltern $s$ und $d$

\begin{equation} a_i = {1\over 2}\ a_s + {1\over 2}\ a_d + m_i\nonumber \label{eq:BvAniDecomp} \end{equation}

wobei $a_s$ und $a_d$ Zuchtwerte der Eltern $s$ und $d$ und $m_i$ "Mendelian Sampling"-Effekt

• In Matrix-Vektor-Schreibweise

$$a = P * a + m$$

Rekursive Zerlegung bis Gründertiere

• Gründertiere $=$ Tiere ohne bekannte Eltern
• Zerlegung der Eltern-Zuchtwerte

$$a_s = {1\over 2}\ a_{ss} + {1\over 2}\ a_{sd} + m_s$$

wobei $a_{ss}$ und $a_{sd}$ Zuchtwerte der Eltern von $s$ sind.

• Analog kann der Zuchtwert für $a_d$ zerlegt werden.

$$a_d = {1\over 2}\ a_{ds} + {1\over 2}\ a_{dd} + m_d$$

• Einsetzen in Zerlegung von $a_i$

$$a_i = {1\over 4}\ a_{ss} + {1\over 4}\ a_{sd} + {1\over 4}\ a_{ds} + {1\over 4}\ a_{dd} + {1\over 2}\ m_s + {1\over 2}\ m_d + m_i$$

Rekursive Zerlegung Endergebnis

$$a = L * m$$

wobei $L$ eine rechte untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen.

• Die Offdiagonalelemente zeigen für jedes Tier den Pfad zu den verwandten Gründertieren der Population
• Tier $i$ Nachkomme von $s$ und $d$, Offdiagonalelemente der $i$-ten Zeile als Mittelwert zwischen Zeilen $s$ und $d$ berechnen.

Zerlegung der Varianz der Zuchtwerte

• Zerlegung der Varianz $var(a_i)$ des Zuchtwertes $a_i$

$$var(a_i) = {1\over 4}\ var(a_s) + {1\over 4}\ var(a_d) + {1\over 2}\ cov(a_s,a_d) + var(m_i)$$

wobei

\begin{eqnarray} var(a_i) &=& (1+F_i) \sigma_a^2 \nonumber\ var(a_s) &=& (1+F_s) \sigma_a^2 \nonumber\ var(a_d) &=& (1+F_d) \sigma_a^2 \nonumber\ cov(a_s,a_d) &=& a_{sd} \sigma_a^2 = 2F_i \sigma_a^2 \nonumber \label{eq:VarAiComponent} \end{eqnarray}

Varianz der Mendelian Sampling Effekte

• Beide Eltern bekannt

$$var(m_i) = \left[ {1\over 2}\ - {1\over 4}\ (F_s + F_d)\right] \sigma_a^2$$

• Ein Elternteil bekannt

$$var(m_i) = \left[{3\over 4} - {1\over 4}\ F_d\right] \sigma_a^2$$

• unbekannte Eltern

$$var(m_i) = \sigma_a^2$$

Covarianz-Matrix der Zuchtwerte

• Covarianz-Matrix $var(a)$ der Zuchtwerte mit Gleichung $a = L * m$:

$$var(a) = var(L*m) = L * var(m) * L^T$$

wobei $var(m)$ die Covarianz-Matrix der $m$-Effekte ist

• Da $m_i$ unabhängig voneinander ist $var(m)$ eine Diagonalmatrix
• Alle $var(m_i)$ (siehe vorherige Folie) von $\sigma_a^2$ abhängig

$$var(m) = D * \sigma_a^2$$

$$var(a) = L * D * L^T * \sigma_a^2 = A * \sigma_a^2$$

$$A = L * D * L^T$$

Inverse von $A$

• Mit Matrix Algebra

$$A^{-1} = (L * D * L^T)^{-1} = (L^{-1})^T * D^{-1} * L^{-1}$$

• $D^{-1}$: Diagonalmatrix mit Elementen $1/var(m_i)$

• $L^{-1}$: $a = L * m$ und $a = P * a + m$ beide nach $m$ auflösen und gleichsetzen

$$m = L^{-1} * a$$

$$m = (I-P) * a$$

$$L^{-1} = I-P$$

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