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In NSCA: Necessary and Sufficient Condition Analysis

NSCA

充分必要條件分析(Necessary and Sufficient Condition Analysis)。

安裝

原始碼與問題回報：https://github.com/youngchanresearcher/NSCA

NSCA 的必要性由 NCA 計算、充分性由 SCAtools 計算。三者都在 CRAN 上,從 CRAN 安裝 NSCA 會一併裝好另外兩個：

install.packages("NSCA")

若要從原始碼 tarball 安裝,必須先裝好相依套件,因為 repos = NULL 不會自動處理相依：

install.packages(c("NCA", "SCAtools", "ggplot2"))
install.packages("NSCA_0.4.5.tar.gz", repos = NULL, type = "source")

SCAtools 有自己的 repository：https://github.com/youngchanresearcher/SCAtools

需要 R (>= 3.5.0)、NCA (>= 5.0.2) 與 SCAtools (>= 0.4.1)。

它在估計什麼

充要條件陳述會同時固定兩個空角落。把充分性寫成 X → Y、必要性寫成 Y → X,各自對位換質之後,兩個空區落在同一張散佈圖的對角:

| NSCA 編號 | 方向 | 充分性空角 | 必要性空角 | |---|---|---|---| | 1 | HH | 4 右下 | 1 左上 | | 2 | LH | 3 左下 | 2 右上 | | 3 | HL | 2 右上 | 3 左下 | | 4 | LL | 1 左上 | 4 右下 |

NSCA 編號是邏輯方向標籤，不是一個物理空角。例如 NSCA 1（HH）必須 同時檢查物理 corner 1 與 corner 4。 若 High／Low 是嚴格互補，HH 與 LL 是同一種充要條件模式，LH 與 HL 則是另一種；不能把四個方向當成四個彼此獨立的假設檢定。

其中一條 frontier 永遠從上方界定點雲,另一條從下方。夾在中間的區域,就是兩個主張都沒有排除的部分。

fit <- nsca_analysis(dat, "X", "Y", direction = "HH",
                     ceilings = c("ce_fdh", "cr_fdh"), test.rep = 1000)
fit
nsca_results(fit)        # 必要、充分、聯合三張表
nsca_thresholds(fit)
nsca_plot(fit)

一條恆等式撐住所有面積

兩個空區與夾在中間的區域鋪滿整個 scope，所以由容斥原理：

admissible_region_share = 1 - d_nec - d_suf + overlap_share
joint_empty_zone_coverage = d_nec + d_suf - overlap_share = 1 - admissible_region_share

其餘所有面積量都由此推導，而不是各自定義。兩個結果立刻跟著出來。

界是精確的，而且是緊的。 由 admissible_region_share >= 0 得 d_nec + d_suf <= 1 + O，於是

weakest_effect        <= 0.5 + O/2
balanced_joint_effect <= 1   + O

而且完美對角線恰好取等號，此時 O = 1/(n - 1)。n = 40 時實際值是 0.5128 與 1.0256，界也是 0.5128 與 1.0256。超出的部分是離散化不是證據；因為它是等式而不是 數量級，讀者可以直接把它減掉，而不是「大致扣掉」。

只有 coverage 是無條件有界的。 admissible_region_share 是 scope 的一個比例，所以它 與 joint_empty_zone_coverage 永遠落在 [0, 1]。另外兩個只有在加上 overlap 之後 才有界，而階梯型 frontier 的 overlap 從來不是零。

reconstruction_error

這條恆等式有兩條計算路徑。admissible_region_share 與 overlap_share 是從本套件重建 的 frontier 積分出來的；d_nec 與 d_suf 則是兩個引擎用自己內部的 frontier 回報的。兩條路徑的殘差現在逐列回報。

它是唯一能檢查「重建是否仍與引擎真正配適的東西一致」的量，也抓得住圖表抓不到的 那一種錯誤：重建錯的 frontier 畫出來仍像一條 frontier，面積也仍然合理，只有恆等式 會拒絕閉合。

同樣兩個成分，三種摘要方式

d_nec 與 d_suf 是主要結果。其餘都是把這兩個數字合起來的方式， nsca_table() 會報告三種，而不是挑一種當成「那個」聯合效果量 —— 因為兩個空區的幾何本身並不指定該用哪一種。

| | 問什麼 | 上限 | 補償性 | 弱點 | |---|---|---|---|---| | weakest_effect = min(d_nec, d_suf) | 較弱那一側有多強 | 約 0.5 | 完全不補償 | 被曲率壓低 | | balanced_joint_effect = 2*sqrt(d_nec*d_suf) | 有多強且有多平衡 | 1 | 部分補償 | 同樣被曲率壓低，但較輕 | | joint_empty_zone_coverage = 1 - admissible_region_share | 有多接近確定性函數 | 1 | 完全補償 | 低端被墊高 |

min、幾何平均、總和是同一個家族

它們是冪平均 M_p 在 p = -Inf、p = 0、p = 1 三個點。所以選哪一個是在選 允許多少補償，不是在選對錯。nsca_joint() 直接把這個參數打開：

nsca_joint(0.40, 0.40, p = 0)     # 0.800  平衡
nsca_joint(0.70, 0.10, p = 0)     # 0.529  總和相同，因不平衡被扣分
nsca_joint(0.40, 0.40, p = 1)     # 0.800  總和分不出這兩者，
nsca_joint(0.70, 0.10, p = 1)     # 0.800  這才是反對總和的理由

幾何平均是部分補償（partially compensatory）。較大的那一側確實會把 指標拉高，只是邊際遞減；同時只要任一側歸零，指標仍然歸零。把它描述成 完全非補償的邏輯 AND 是誇大了 —— min 才是這個家族完全不補償的那一端。

為什麼乘 2 只是正規化，不是新增假設

當 p <= 1 時冪平均不超過算術平均 (d_nec + d_suf)/2；兩個空區是同一個 scope 盒子裡互斥的子集，所以 d_nec + d_suf <= 1，算術平均最多 0.5。因此 balanced_joint_effect 落在 [0, 1]，而且恰好在 d_nec = d_suf = 0.5 時等於 1 —— 那就是兩條 frontier 重合、帶寬閉合、整張圖只有一條線的情形。

階梯型 frontier 會略微超過上限。 相鄰兩個觀測點之間上下階梯彼此交錯， 空區重疊約一個階梯寬，兩個成分各被墊高 O(1/n)。40 點的完美對角線得到 weakest_effect = 0.513、balanced_joint_effect = 1.03。這個超出量由 overlap_share 回報，而且 指標不做上限截斷，好讓離散化留在檯面上而不是被抹掉。

三者在哪裡分歧

曲率是最有趣的情形。Y = X、Y = X^3、Y = X^(1/3) 都是完美雙射， 所以三者都是完美的充分必要：

| | d_nec | d_suf | weakest_effect | balanced_joint_effect | joint_empty_zone_coverage | |---|---|---|---|---|---| | Y = X | 0.50 | 0.50 | 0.50 | 1.00 | 1.00 | | Y = X^3 | 0.75 | 0.25 | 0.25 | 0.87 | 1.00 | | Y = X^(1/3) | 0.25 | 0.75 | 0.25 | 0.87 | 1.00 |

以上是單位正方形上的極限值。有限樣本的 ce_fdh 會替每個成分加上 1/n 階梯項，所以在 [0.001, 1] 上取 150 點，對角線得到 0.5034 / 0.5034， 三次方得到 0.7531 / 0.2536。

三個都沒有算錯。joint_empty_zone_coverage 問的是「Y 有沒有被 X 釘住」，答案是有； 另外兩個問的是「用成分自己的面積尺度來看，兩個主張各有多強」，而偏斜的 曲線確實讓其中一個空區變小。反方向的問題則是墊高：一條鬆散的斜向點帶 joint_empty_zone_coverage 給約 0.17，weakest_effect 只給 0.02。

| weakest_effect / balanced_joint_effect | joint_empty_zone_coverage | 讀法 | |---|---|---| | 高 | 高 | 強充要條件 | | 低 | 高 | 確定性但偏斜，某一側幾乎沒有內容 | | 低 | 低 | 關係鬆散 | | 任意，但 degenerate 為真 | | 有一軸根本沒有變異 | | 任意，但 p 不顯著 | | 沒有證據排除隨機配對 |

不提供量級基準

三個指標都不附基準，這是刻意的而不是漏掉。單一 NCA 效果量的經驗閾值 不能移植：尺度不同，而且在獨立虛無假設下兩個成分都帶有正的有限樣本 偏誤，balanced_joint_effect 會把它放大而不是抵銷，放大幅度取決於 n、frontier 方法與 scope。要說某個值大或小之前，先在手上這個設計上做模擬校準。

兩種都叫「水平線」的情況

兩者落在相反的位置，而且只有一種是問題。

frontier 是水平的，scope 被點雲填滿。 X 與 Y 都鋪滿 scope，天花板平貼在 上緣。兩側都沒有空區：d_nec = d_suf = 0，帶寬等於整個 scope，三個指標都 是 0。這是正確的，也不需要任何特別處理。

資料本身是水平的，也就是 Y 為常數。 沒有理論 scope 時直接拒絕： 常數 outcome 沒有自己的 scope，所有空區都會被除以零高度。有 scope 時會執行、 發出警告、並標記 degenerate —— 因為此時答案是最大值而不是零。常數落在 單位 scope 中央時，上半與下半都是空的，d_nec = d_suf = 0.5，帶寬閉合， 三個指標全都替一組毫無資訊的資料回報完美聯合支持。把同一條線移到 Y = 0.8， balanced_joint_effect 掉到 0.80 —— 資料一個位元都沒變。這個敏感性就是破綻。

這是三個面積型摘要共同的盲點，而且 balanced_joint_effect 是其中最脆弱的：常數一旦 偏離中央，weakest_effect 至少還會跟著較弱那一側走。有兩道防線：degenerate 旗標， 以及置換篩檢 —— 重排常數 outcome 不改變任何東西，每一次重抽都複製出同樣的 幾何，兩個 p 值都會是 1。

合取檢定

p_nsca_iut = max(p_nec, p_suf)。只有當兩個方向性成分檢定都在指定水準下拒絕 時才通過。這是交集–聯集規則（IUT）：它是 level-α 的，而且不需要假設兩個成分 p 值互相獨立，所以僅為了組合兩個事先指定的檢定不需再做校正。跨多個 X 或多種 frontier 的多重性是另一回事。

它同時通常是保守的 —— 兩個 p 值的最大值在隨機上大於任一個。因此 NSCA 設計 需要的樣本量比任一成分單獨做都大，這件事該在設計階段就算進去，而不是事後才發現。

統計範圍要說清楚：置換檢定打散 X–Y 配對，檢驗的是 random-pairing／independence 虛無假設。p_nsca_iut 是兩個方向性空白區檢定的合取篩檢，不是對完整邏輯虛無假設 「非必要或非充分」的直接檢定，更不是因果或確定性充要條件關係的證明。

共用置換序列

shared.test.rep 用一條序列同時驅動兩個引擎，取代引擎各自跑的兩次置換。每一次 重抽把 outcome 洗牌一次，兩個引擎都在同一份洗牌資料上重新配適，d_nec、 d_suf 與兩者的最小值一起記錄下來。

fit <- nsca_analysis(dat, "X", "Y", ceilings = "ce_fdh",
                     shared.test.rep = 999, shared.seed = 1)

這才讓 p_weakest_perm 有意義。IUT 是把兩個 p 值組合起來，不需要對兩者如何共變做 任何假設；但 min(d_nec, d_suf) 是兩個成分的統計量，它的虛無分布正好取決於那個 共變。用兩組獨立置換會把「兩個空區是同一個 scope 裡互斥子集」這個限制丟掉，產生 一個任何資料都生不出來的虛無分布。

用了共用序列之後，p_nec 與 p_suf 也來自同一條序列，四個 p 值彼此一致； p_source 會說明是哪一種來源。p 值帶 Phipson–Smyth 修正，所以不可能是 0。

p_weakest_perm 不取代 p_nsca_iut。它的虛無假設只有隨機配對，而隨機配對是 聯集虛無「非必要或非充分」的真子集 —— 那個聯集裡包含「必要但不充分」這種根本 不是隨機配對的狀態。所以拿隨機配對校準，對那個聯集沒有 level-α 保證。它是敏感度 分析；判定仍然由 IUT 負責。

支持判定

四個旗標而不是一個，這樣失敗時看得出是哪一項沒過。

| 旗標 | 需要 | |---|---| | necessity_significant | p_nec <= alpha | | necessity_supported | 顯著，且若有設 relevance 則 d_nec >= relevance | | geometry_acceptable | 非退化、reconstruction_error 夠小、overlap 不超過階梯型本身的 1/(n - 1) | | joint_support | 兩個成分都 supported 且 幾何可接受 |

fit <- nsca_analysis(dat, "X", "Y", test.rep = 1000,
                     relevance = c(necessity = 0.10, sufficiency = 0.10))

relevance 是事先指定的實務相關性門檻。沒設的話，支持就只靠顯著性，而 print() 會明講這件事，不會讓讀者以為有套過門檻。退化的列永遠不可能被判定為 supported。

0.3.0 與 0.4.0 退役的名稱

舊名仍然可用：nsca_table(legacy = TRUE) 與 nsca_thresholds(legacy = TRUE) 會把它們附加回來，nsca_extract() 接受舊名並發警告，退役的引數會發警告但仍然 有效，nsca_legacy_names() 回傳對照表。

| 退役 | 現行 | 屬於哪張表 | |---|---|---| | d_nsca | weakest_effect | 聯合表 | | j_nsca | balanced_joint_effect | 聯合表 | | determinacy | joint_empty_zone_coverage | 聯合表 | | weaker_side | weaker_component | 聯合表 | | p_nsca | p_nsca_iut | 聯合表 | | undetermined_share、data_zone_share | admissible_region_share | 聯合表 | | nsca_supported | joint_support | 聯合表 | | conjunction | joint_support_status | 聯合表 | | undetermined_width、data_zone_width | necessity_sufficiency_interval | 門檻表 | | region | threshold_status | 門檻表 | | boundary（引數） | inequality | 門檻表 |

0.4.0 改用論文《condition analysis in degree》的術語：兩個成分都相容的區域是 admissible region（可容許區域）；在同一個結果水準上兩個門檻之間的距離是 necessity-sufficiency interval；兩個成分都有證據叫 joint support；而 boundary 專指「理論上的邊界線」（frontier 是它的估計值），所以控制不等號嚴格性 的引數改名為 inequality。nsca_terms() 列出完整對照。

determinacy 這個名字承諾了數字本身賺不到的詮釋 —— 常數 outcome 在它上面拿 1 分。 兩條 frontier 之間的區域叫 admissible region（可容許區域）：那是觀測值仍被允許出現的區域， 不等於宣稱那裡真的有觀測值。

三層結果都會報告

print(fit)、summary(fit) 與 nsca_results(fit) 都會報告：

1. Necessary Condition Analysis；
2. Sufficiency Condition Analysis；
3. 聯合 NSCA（含 weakest_effect、balanced_joint_effect、joint_empty_zone_coverage、p_nsca_iut、 degenerate 旗標與合取判定）。

第三張表是前兩張表的合取摘要，不是第三個彼此獨立的資料分析。

一列一種 frontier,兩側必須相同

聯合效果量是一個比較。比較只有在兩邊用同一把尺量的時候才有意義。

包絡型(ce_fdh、ce_vrs)貼著資料走,空白面積最大;迴歸型(cr_fdh、cr_vrs、cols、qr、c_lp)會切進資料裡,面積較小。同樣 80 個點,同一側的 d 從 0.298 到 0.400,純粹取決於畫法。所以跨側混用等於讓「誰比較弱」由畫法決定,而不是由證據決定。

因此 ceilings 對兩側一體適用;給多個方法就產生多列,每一列內部兩側相同。比較不同列是敏感度分析;跨側混用則在結構上不可能發生。

nsca_plot() 不受此限。圖上不做任何數值比較,所以每一種方法都會在兩側畫出來。

雙門檻

對每一個 outcome 水準，兩個成分把條件軸切成三段。對 High X 方向：

| 區域 | 意義 | |---|---| | 低於 necessity_threshold | 這個水準達不到 | | 兩個門檻之間 | 有可能,但不保證 | | 高於 sufficiency_threshold | frontier 保證達到 |

對 Low X 方向，不等號反向：高於 necessity threshold 時達不到，低於 sufficiency threshold 時由 frontier 保證。threshold_gap_actual 已依方向 定向，所以四個方向中正值都代表存在未決區；若為負值，套件會報告 frontiers overlap，不再偷偷截成 0。

necessity_sufficiency_interval 是中間那段的寬度,也就是同一個結果水準上兩個門檻在 X 軸上的距離。在關係為確定性的地方會收縮成零,threshold_status 會標成 exact correspondence。NCA 或 SCA 單獨都給不出這張表,因為各自只提供其中一邊。

效能

引擎的 purity metrics 預設關閉(purity = TRUE 可開啟)。它只在兩軸都未翻轉的角落才計算,而 NSCA 用到的兩個角落最多只有一個符合,且是哪一側取決於方向:HH 在必要性側、LL 在充分性側、LH 與 HL 兩側皆無。

它在很多觀測落在 frontier 上時特別慢,而那正是 NSCA 要描述的近確定性情形 —— 完美對角線會讓每一個點都成為 frontier 點。NSCA 沒有任何統計量用到它。

詮釋上的限制

• 效果量是相對於所宣告 scope 的面積,會隨 scope 改變。
• 面積型測度對 X 或 Y 的單調變換不具不變性。這是從 NCA 繼承的性質,此處所有量都適用。
• 置換檢定問的是「打散 X-Y 配對之後,這麼大的空區是否罕見」。它不建立機制。
• 空區型態不等於確定性充要條件關係的證明。時序、研究設計、測量品質、scope、樣本外驗證都仍然重要。

引用

必要性由 NCA(Jan Dul、Govert Buijs)計算,充分性由 SCAtools 計算。

• Dul, J. (2016). Necessary Condition Analysis (NCA). Organizational Research Methods, 19(1), 10-52.
• Berger, R. L. (1982). Multiparameter hypothesis testing and acceptance sampling. Technometrics, 24(4), 295-300.

參照線：OLS 只畫，不計入

ceilings 一直都拒絕 "ols"：它估的是集中趨勢而不是空區，所以既不能當必要性 成分、也不能當充分性成分。0.4.1 起它仍然可以畫出來：

fit <- nsca_analysis(
  dat, "X", "Y", direction = "HH",
  ceilings = "ce_fdh",
  reference = "ols"
)

nsca_reference(fit)   # 截距、斜率、R 平方
nsca_plot(fit)        # 灰色點線，不進成分圖例

兩個成分完全不受影響：參照線不進任何 joint index、不進 threshold、不進 p 值、 也不進 joint support 判定。畫它的理由是平均效果與條件分析回答的是同一個關係的 不同問題，並列呈現比合併成一個數字更有資訊。

NSCA documentation built on Oct. 10, 2026, 5:08 p.m.