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基础语法: 线性代数"
In drhur: Learning R with Dr. Hu
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE,
message = FALSE,
warning = FALSE,
out.width="100%")
d <- seq(from = 1, to = 5, by = 0.5)
知识点
- R语言的基础逻辑
- 简单代数
- 线性代数
初等代数
四则运算
1 + 2; 1.5 + 2.4
3 - 4; -6 - 7
5 * 6; 23 * 14
7 / 8; -9 / 0.2
; 在R中有连接两个独立命令行的作用。
请根据以上命令，求解下题：
$$\frac{\frac{365}{12}}{\frac{28 + 24}{10} - (36 + 72) \times 5}$$
(365 / 12) / ((28 + 24)/10 - (36 + 72) * 5)
复杂代数
sqrt(9)
10^2
5%%3 #余数
log(11)
log10(100)
exp(12)
乃至三角函数：
sin(pi)
cos(pi)
tan(pi/2)
acos(1)
asin(1)
atan(0.5)
科学计数法
tan(pi/2)
一个数被写成一个实数a与一个10的n次幂的积。
其中E（exponential）用来表示10的幂
举几个例子：
$$200 = 2e + 2, $$
$$0.002 = 2e-3,$$
$$333.3 = 3.333e + 2,$$
$$-45,000 = -4.5e + 4.$$
2.8e + 10 代表什么？
format(2.8e+10, scientific = FALSE, big.mark = ',')
布尔代数（Boolean algebra）
- 基础是逻辑判断: 真用
TRUE代表，假用FALSE代表，也可以简写为T和F。
- 常见运算符:
- 否(
!)、等于（==）、不等于（!=）、大于（>）、小于（<）、与（&）、并（|）
- 当然还能衍生出复合型的大于等于(
>=）、小于等于(<=)。
举几个例子：
1 == 2
1 != 2
1 > 2
1 < 2
1 >= 2
1 <= 2
1 & 2 > 2
1 | 2 > 2
下面这个式子的结果是什么？
3 > 2 > 1
(3 > 2) & (2 > 1)
很多朋友在刚使用编程语言时候都会不习惯用两个等号（==）来表示“等于”，但从理解的角度，可将其视作==, !=, >=, <=中的一员看待。
向量
在R中，向量也是最基础的数据呈现方式。
- 数学：一串有方向的数，或者说用一串数来记录一个有方向动作。
- 如果方向被拿掉了就变成了纯量（scalar）。
- 数据：与变量（variable）对等，创建一个向量就可被视作创建了一个变量。
从这个意义上，变量可被视作“有概念意义的向量”。
向量表达
- 数学：${\displaystyle {\vec {a}}=(11, 12, 13, 14, 15)}$
- $\vec {a}_2 = 2; \vec {a}_5 = 5$
- R：
a <- c(11, 12, 13, 14, 15)
c: Concatenate/combine
a <- c(11, 12, 13, 14, 15)
a[2]
a[5]
<-: 赋值符(assign):: a <- 1:5TRUE留FALSE不留
b <- 10 * 1:5
b
# 结果是什么？
c(1.5:3)
如何表示$\vec {b}=(1, 3, 4, 5, 6, 7, 9)$?
b <- c(1, 3:7, 9)
seq()
seq()
重复上面的例子：
a <- seq(from = 1, to = 5)
a
seq()的便捷之处在于可以定义步长:
c <- seq(from = 1, to = 5, by = 3)
c
d <- seq(from = 1, to = 5, by = 0.5)
d
seq()另一个功能是体现元素位置。
比如：如何选出d的偶数位上的元素？
提示:
确定索引
→ 找出索引中的各位是否是偶数位（是否能被2整除），是用TRUE标明
→ 在第二步基础上根据“TRUE留FALSE不留”的规则将向量中为偶数位的元素保留成为一个新向量。
d[seq(d) %% 2 == 0]
向量四则运算
- 加减法：$$\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2, ..., a_n \pm b_n).$$
- 乘法则要略微复杂，有不同类型。
- 点乘：可以有两种表达方式
- 代数表达式：$\vec{a}\cdot \vec{b} = \sum a_ib_i$。
- 这里包含一种特殊情况，纯量×向量：$c\vec{x} = (cx_1, cx_2,..., cx_n).$
- 几何表达式：$\vec{a}\cdot \vec{b} = ||\vec{a}||||\vec{b}||cos\theta$，其中$||\vec{a}||$是向量的欧几里得范数（$\sqrt{a^{2}_1 + \ldots + a^{2}_n}$），θ是两个向量的夹角。
- R中用
*连接两个向量，输出点乘结果。
- 叉乘：将两个变量在共同的单位向量上相乘的方法。
- 使用
%o%连接两个向量或者使用outer()命令计算。
a + b
a - b
a * b
a / b
当进行运算的向量不等长时，短向量的元素将依序循环使用，如下例：
a
e <- c(1, 2)
a * e
叉乘在R中其实还能做一些数据之外的事情。
举例：用这个功能来用R推演一下天干地支。
tiangan <- c("甲", "乙", "丙", "丁", "戊", "己", "庚", "辛", "壬", "癸")
dizhi <- c("子", "丑", "寅", "卯", "辰", "巳", "午", "未", "申", "酉", "戌", "亥")
提示:
阅者诸君周知，有十天干，十二地支。
它们共有一百二十种组合，先民取其中六十种组为干支纪年。
选择方法是阳（奇）数配阳数，阴（偶）数配阴数。
tg_yang <- tiangan[seq(tiangan) %% 2 == 1]
tg_yin <- tiangan[seq(tiangan) %% 2 == 0]
dz_yang <- dizhi[seq(dizhi) %% 2 == 1]
dz_yin <- dizhi[seq(dizhi) %% 2 == 0]
outer(tg_yang, dz_yang, FUN = paste0)
outer(tg_yin, dz_yin, FUN = paste0)
向量性质
a
#长度
length(a)
#最值
max(a)
min(a)
#平均值
mean(a)
#中位数
median(a)
#方差
var(a)
这些命令在之后基于数据的变量运算中均可通用。
矩阵
- 数学：
$$
A_{2\times2} = \left(\begin{array}{cc}
1 & 3\
2 & 4
\end{array}\right)
$$
- R：
A <- matrix(1:4, nrow = 2)
A
- 数学： 在矩阵$A_{2\times2}$中，它的元素通常以行×列的方式标记，比如$A_{12}$就代表矩阵第1行、第2列的元素，即$3$。
- R:
A[1, 2]
A[1, ]
A[ , 2]
单一矩阵运算
B <- matrix(1:6, nrow = 3)
B
dim(B)
t(B)
t(t(B))
t(t(B)) 嵌套的做法。
矩阵运算
- 加（减）法：只能在同型矩阵间进行（同行数、同列数），$A \pm B = a_{ij} \pm b_{ij}$;
- 乘法：纯量乘积、一般乘积、Hadamard积、Kronecker积等。这里仅介绍和之后数据处理较为相关的纯量乘积、一般乘积。
- 纯量乘积：${\displaystyle (rA){ij}=r\cdot a{ij}\ }$，与代数乘法方法相同。
- 一般乘积：只有在前矩阵列数与后矩阵行数相等时才有定义，其运算也就是对应的前列与后行的代数乘积之和，如下图所示，
。
在R中，将两个符合定义性质的向量用%*%连接就可以进行这种运算。
B
C <- matrix(7:12, nrow = 3)
B + C
B - C
10 * B
D <- matrix(1:6, nrow = 2)
D
dim(B)
dim(D)
B %*% D
方程组
用R解一个三元一次方程组:
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
x + y + z = 6, \
3x + 2y + 4z = 9, \
2x + 2y - 6z = 4.
\end{cases}
\end{equation}
$$
- 矩阵E代表方程系数
- $b$为方程的右侧
- $x$是方程的解
$$
\begin{align}
\vec{b} =& \vec{E}\vec{x},\
\begin{bmatrix}
6 \
9 \
4
\end{bmatrix}
=&
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \
3 & 2 & 4 \
2 & 2 & -6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \ y \ z
\end{bmatrix}
\end{align}.
$$
E <- matrix(c(1, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 4, -6), nrow = 3)
E
b <- c(6, 9, 4)
x <- solve(E, b)
x
解方程组的一个直接应用就是解回归方程。
回归方程通常可以以线性代数方式表达：
比如，对一个基本的回归就可以写成如下形式，就和我们上面解的方程组非常相似了：
$$
\begin{align}
y& =& &\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ... + \beta_nx_n + \epsilon\
\vec{y}& =& &\vec{x}\vec{\beta} + \vec{\epsilon}.\
\uparrow& & &\uparrow\uparrow\
\vec{b}& =& &\vec{E}\vec{x}
\end{align}
$$
要点总结
- 简单代数
- 科学计数法
- 布尔代数：
!、==、!=、>、<、&、|、>=、<=
- 线性代数
- 向量：
<-
- 矩阵：
%*%
- 方程组
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knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE, out.width="100%") d <- seq(from = 1, to = 5, by = 0.5)
知识点
- R语言的基础逻辑
- 简单代数
- 线性代数
初等代数
四则运算
1 + 2; 1.5 + 2.4 3 - 4; -6 - 7 5 * 6; 23 * 14 7 / 8; -9 / 0.2
; 在R中有连接两个独立命令行的作用。
请根据以上命令，求解下题：
$$\frac{\frac{365}{12}}{\frac{28 + 24}{10} - (36 + 72) \times 5}$$
(365 / 12) / ((28 + 24)/10 - (36 + 72) * 5)
复杂代数
sqrt(9) 10^2 5%%3 #余数 log(11) log10(100) exp(12)
乃至三角函数：
sin(pi) cos(pi) tan(pi/2) acos(1) asin(1) atan(0.5)
科学计数法
tan(pi/2)
一个数被写成一个实数a与一个10的n次幂的积。 其中E（exponential）用来表示10的幂 举几个例子：
$$200 = 2e + 2, $$ $$0.002 = 2e-3,$$ $$333.3 = 3.333e + 2,$$ $$-45,000 = -4.5e + 4.$$
2.8e + 10 代表什么？
format(2.8e+10, scientific = FALSE, big.mark = ',')
布尔代数（Boolean algebra）
- 基础是逻辑判断: 真用
TRUE代表，假用FALSE代表，也可以简写为T和F。 - 常见运算符:
- 否(
!)、等于（==）、不等于（!=）、大于（>）、小于（<）、与（&）、并（|） - 当然还能衍生出复合型的大于等于(
>=）、小于等于(<=)。
- 否(
举几个例子：
1 == 2 1 != 2 1 > 2 1 < 2 1 >= 2 1 <= 2 1 & 2 > 2 1 | 2 > 2
下面这个式子的结果是什么？
3 > 2 > 1
(3 > 2) & (2 > 1)
很多朋友在刚使用编程语言时候都会不习惯用两个等号（
==）来表示“等于”，但从理解的角度，可将其视作==, !=, >=, <=中的一员看待。
向量
在R中，向量也是最基础的数据呈现方式。
- 数学：一串有方向的数，或者说用一串数来记录一个有方向动作。
- 如果方向被拿掉了就变成了纯量（scalar）。
- 数据：与变量（variable）对等，创建一个向量就可被视作创建了一个变量。
从这个意义上，变量可被视作“有概念意义的向量”。
向量表达
- 数学：${\displaystyle {\vec {a}}=(11, 12, 13, 14, 15)}$
- $\vec {a}_2 = 2; \vec {a}_5 = 5$
- R：
a <- c(11, 12, 13, 14, 15)c: Concatenate/combine
a <- c(11, 12, 13, 14, 15) a[2] a[5]
<-: 赋值符(assign)::a <- 1:5TRUE留FALSE不留
b <- 10 * 1:5 b
# 结果是什么？ c(1.5:3)
如何表示$\vec {b}=(1, 3, 4, 5, 6, 7, 9)$?
b <- c(1, 3:7, 9)
seq()seq()
重复上面的例子：
a <- seq(from = 1, to = 5) a
seq()的便捷之处在于可以定义步长:
c <- seq(from = 1, to = 5, by = 3) c d <- seq(from = 1, to = 5, by = 0.5) d
seq()另一个功能是体现元素位置。
比如：如何选出d的偶数位上的元素？
提示: 确定索引 → 找出索引中的各位是否是偶数位（是否能被2整除），是用
TRUE标明 → 在第二步基础上根据“TRUE留FALSE不留”的规则将向量中为偶数位的元素保留成为一个新向量。
d[seq(d) %% 2 == 0]
向量四则运算
- 加减法：$$\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2, ..., a_n \pm b_n).$$
- 乘法则要略微复杂，有不同类型。
- 点乘：可以有两种表达方式
- 代数表达式：$\vec{a}\cdot \vec{b} = \sum a_ib_i$。
- 这里包含一种特殊情况，纯量×向量：$c\vec{x} = (cx_1, cx_2,..., cx_n).$
- 几何表达式：$\vec{a}\cdot \vec{b} = ||\vec{a}||||\vec{b}||cos\theta$，其中$||\vec{a}||$是向量的欧几里得范数（$\sqrt{a^{2}_1 + \ldots + a^{2}_n}$），θ是两个向量的夹角。
- R中用
*连接两个向量，输出点乘结果。
- 代数表达式：$\vec{a}\cdot \vec{b} = \sum a_ib_i$。
- 叉乘：将两个变量在共同的单位向量上相乘的方法。
- 使用
%o%连接两个向量或者使用outer()命令计算。
- 使用
- 点乘：可以有两种表达方式
a + b a - b a * b a / b
当进行运算的向量不等长时，短向量的元素将依序循环使用，如下例：
a e <- c(1, 2) a * e
叉乘在R中其实还能做一些数据之外的事情。
举例：用这个功能来用R推演一下天干地支。
tiangan <- c("甲", "乙", "丙", "丁", "戊", "己", "庚", "辛", "壬", "癸") dizhi <- c("子", "丑", "寅", "卯", "辰", "巳", "午", "未", "申", "酉", "戌", "亥")
提示: 阅者诸君周知，有十天干，十二地支。 它们共有一百二十种组合，先民取其中六十种组为干支纪年。 选择方法是阳（奇）数配阳数，阴（偶）数配阴数。
tg_yang <- tiangan[seq(tiangan) %% 2 == 1] tg_yin <- tiangan[seq(tiangan) %% 2 == 0] dz_yang <- dizhi[seq(dizhi) %% 2 == 1] dz_yin <- dizhi[seq(dizhi) %% 2 == 0] outer(tg_yang, dz_yang, FUN = paste0) outer(tg_yin, dz_yin, FUN = paste0)
向量性质
a #长度 length(a) #最值 max(a) min(a) #平均值 mean(a) #中位数 median(a) #方差 var(a)
这些命令在之后基于数据的变量运算中均可通用。
矩阵
- 数学：
$$ A_{2\times2} = \left(\begin{array}{cc} 1 & 3\ 2 & 4 \end{array}\right) $$
- R：
A <- matrix(1:4, nrow = 2) A
- 数学： 在矩阵$A_{2\times2}$中，它的元素通常以行×列的方式标记，比如$A_{12}$就代表矩阵第1行、第2列的元素，即$3$。
- R:
A[1, 2] A[1, ] A[ , 2]
单一矩阵运算
B <- matrix(1:6, nrow = 3) B dim(B) t(B) t(t(B))
t(t(B))嵌套的做法。
矩阵运算
- 加（减）法：只能在同型矩阵间进行（同行数、同列数），$A \pm B = a_{ij} \pm b_{ij}$;
- 乘法：纯量乘积、一般乘积、Hadamard积、Kronecker积等。这里仅介绍和之后数据处理较为相关的纯量乘积、一般乘积。
- 纯量乘积：${\displaystyle (rA){ij}=r\cdot a{ij}\ }$，与代数乘法方法相同。
- 一般乘积：只有在前矩阵列数与后矩阵行数相等时才有定义，其运算也就是对应的前列与后行的代数乘积之和，如下图所示，
。
在R中，将两个符合定义性质的向量用
%*%连接就可以进行这种运算。
B C <- matrix(7:12, nrow = 3) B + C B - C 10 * B D <- matrix(1:6, nrow = 2) D dim(B) dim(D) B %*% D
方程组
用R解一个三元一次方程组:
$$ \begin{equation} \begin{cases} x + y + z = 6, \ 3x + 2y + 4z = 9, \ 2x + 2y - 6z = 4. \end{cases} \end{equation} $$
- 矩阵E代表方程系数
- $b$为方程的右侧
- $x$是方程的解
$$ \begin{align} \vec{b} =& \vec{E}\vec{x},\ \begin{bmatrix} 6 \ 9 \ 4 \end{bmatrix} =& \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \ 3 & 2 & 4 \ 2 & 2 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} \end{align}. $$
E <- matrix(c(1, 3, 2, 1, 2, 2, 1, 4, -6), nrow = 3) E b <- c(6, 9, 4) x <- solve(E, b) x
解方程组的一个直接应用就是解回归方程。 回归方程通常可以以线性代数方式表达： 比如，对一个基本的回归就可以写成如下形式，就和我们上面解的方程组非常相似了：
$$ \begin{align} y& =& &\beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ... + \beta_nx_n + \epsilon\ \vec{y}& =& &\vec{x}\vec{\beta} + \vec{\epsilon}.\ \uparrow& & &\uparrow\uparrow\ \vec{b}& =& &\vec{E}\vec{x} \end{align} $$
要点总结
- 简单代数
- 科学计数法
- 布尔代数：
!、==、!=、>、<、&、|、>=、<=
- 线性代数
- 向量：
<- - 矩阵：
%*% - 方程组
- 向量：
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