In exams.forge.data: Sample and Precomputed Data for Use with 'exams.forge'

library("exams")
library("exams.forge")
instruction <- NULL
call <- exams2call()
### DATA GENERATION
library("magrittr")
ski <- sample(seq(70,85,1),1)
sigma <- sample(seq(1,3,1),1)
a <- ski-sigma
b <- ski+sigma
X <- sample(seq(a,b,0.1),6,replace=TRUE)
#part b
ski <- sample(seq(70,85,1),1)
sigma <- sample(seq(1,3,1),1)
a <- ski-sigma
b <- ski+sigma
X <- sample(seq(a,b,0.1),6,replace=TRUE)
#part a
xBar <- round(sum(X)/6,2)
s2 <- numeric(1)
for(i in 1:6){
  s2 <- s2 + 1/5*(X[i]-xBar)^2
}
s2 <- round(s2,2)
s <- round(sqrt(s2),2)
#part c
v_u <- round(xBar - 2.571 * sqrt(s2/6),4)
v_o <- round(xBar + 2.571 * sqrt(s2/6),4)
#part d
sig <- sigma+1
sig2 <- sig^2

k <- sample(1:3, 1, prob=c(0.25, 0.5, 0.25))
alpha <- c(90, 95, 99)[k]
alpha2 <- c(0.95, 0.975, 0.995)[k]
quant <- c(1.64, 1.96, 2.58)[k]

l <- max(round(s*0.5,0), 1)
e <- l * 0.5
n <- round(sig^2 * (quant^2)/(e^2),3)
N <- trunc(n)+1

Question

Die Firma XY war lange eine der führenden Marken im alpinen Skisport. Nun ist dem seit Längerem nicht mehr so und deshalb hat die Firma einen neuen Ski entwickelt, mit dem ihr die Rückkehr an die Spitze gelingen soll. Um die perfekten Eigenschaften der Skier garantieren zu können, müssen diese an der schmalsten Stelle r skimm breit sein, wobei nur minimale Abweichungen erlaubt sind: Die Standardabweichung darf r sigmamm nicht überschreiten. Es soll mittels einer statistischen Schätzung überprüft werden, ob die alte Produktionsmaschine diesen Bedingungen standhält.

Aus Erfahrung weiß man, dass die Standardabweichung garantiert kleiner oder gleich r sigmm ist. Wie groß müssen Sie den Stichprobenumfang mindestens wählen, damit das Schätzintervall $[v_u; v_o]$ für $\mu$ ($1 - \alpha = r alpha\%$) maximal r lmm lang wird?

Solution

Da die Varianz von $X_i$ bekannt ist verwenden wir das Schätzintervall mit der Standardnormalverteilung. \begin{align} n &\geq& \frac{\sigma^2 \cdot z^2_{1 - \frac{\alpha}{2}}}{e^2}, \quad \text{wobei} \, \sigma^2 = r sig2, \, z_{r alpha2} = r quant \, \text{und} \, e = r emm \ n &\geq& \frac {r sig2 \cdot r quant^2}{r e^2} \ \Rightarrow \quad n &\geq& r N, \quad \text{da} \quad n \geq r n \end{align}