Nothing
R/internal_PIOS_amh.r
In gofCopula: Goodness-of-Fit Tests for Copulae
Defines functions
.amh.123.S
.amh.123.V
.amh.123.density
.amh.12.S
.amh.12.V
.amh.12.density
# Internal functions for the derivation of the amh copula for the PIOSRn and
# PIOSTn test statistics. Called by .Rn and .Tn, the internal functions for
# their test statistics.
# 2d density
.amh.12.density <- function(theta, u) {
if (is.null(dim(u))) {
u1 <- u[1]
u2 <- u[2]
} else {
u1 <- u[, 1]
u2 <- u[, 2]
}
-(1 + theta * (-2 + u1 + theta * (-1 + u1) * (-1 + u2) + u2 + u1 * u2)) /
((-1 + theta * (-1 + u1) * (-1 + u2))^3)
}
# 2d first derivative wrt theta of the log-density
.amh.12.V <- function(theta, u1, u2) {
(-1 + u1 * (2 - 4 * u2) - (theta^2) * ((-1 + u1)^2) *
((-1 + u2)^2) + 2 * u2 - 2 * theta * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 + u1 + u2 + u1 * u2)) / ((-1 + theta * (-1 + u1) * (-1 + u2)) *
(1 + theta * (-2 + u1 + theta * (-1 + u1) *
(-1 + u2) + u2 + u1 * u2)))
}
# 2d second derivative wrt theta of the log-density
.amh.12.S <- function(theta, u1, u2) {
(1 + (theta^4) * ((-1 + u1)^4) * ((-1 + u2)^4) + 2 * (-2 + u2) * u2 +
4 * (theta^3) * ((-1 + u1)^3) * ((-1 + u2)^3) * (-1 + u1 + u2 + u1 * u2) +
2 * (u1^2) * (1 + (-4 + u2) * u2) - 4 * u1 * (1 + 2 * (-2 + u2) * u2) +
2 * (theta^2) * ((-1 + u1)^2) * ((-1 + u2)^2) *
(3 + (-6 + u2) * u2 + (u1^2) * ((1 + u2)^2) +
2 * u1 * (-1 + u2) * (3 + u2)) + 4 * theta * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 - (-3 + u2) * u2 + u1 * (3 + (-7 + u2) * u2) + (u1^2) *
(-1 + u2 + 2 * (u2^2)))) /
(((-1 + theta * (-1 + u1) * (-1 + u2))^2) *
((1 + theta * (-2 + u1 + theta * (-1 + u1) *
(-1 + u2) + u2 + u1 * u2))^2))
}
# 3d density
.amh.123.density <- function(theta, u) {
if (is.null(dim(u))) {
u1 <- u[1]
u2 <- u[2]
u3 <- u[3]
} else {
u1 <- u[, 1]
u2 <- u[, 2]
u3 <- u[, 3]
}
(1 + (theta^6) * ((-1 + u1)^2) * ((-1 + u2)^2) *
((-1 + u3)^2) + 2 * theta * (-3 + u1 + u2 + u3 + 2 * u1 * u2 * u3) +
2 * (theta^5) * (-1 + u1) * (-1 + u2) * (-1 + u3) *
(3 + u2 * (-2 + u3) - 2 * u3 + u1 * (-2 + u2 + u3)) +
(theta^2) * (-10 * u1 + (u1^2) + 4 * u1 * u2 + (u2^2) + 4 *
(u1 + u2 + u1 * u2 * (-3 + u1 + u2)) * u3 +
(1 + u1 * u2 * (4 + u1 * u2)) * (u3^2) - 5 * (-3 + 2 * u2 + 2 * u3)) +
(theta^4) * (15 - 20 * u3 + 6 * (u3^2) + (u2^2) * (6 + (-6 + u3) * u3) +
u2 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3) + (u1^2) * (6 + (u2^2) *
((1 - 2 * u3)^2) + (-6 + u3) * u3 + u2 * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3)) +
u1 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3 + 4 * u2 * (-2 + u3) * (-3 + 2 * u3) +
(u2^2) * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3))) + 2 * (theta^3) * ((u2^2) *
(-2 + u3) + u2 * (-8 + u3) * u3 - 2 * (u3^2) + 10 * (-1 + u2 + u3) +
(u1^2) * (-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u1 * (10 + (-8 + u3) *
u3 + (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3) - 2 * u2 * (4 + u3 *
(-5 + 2 * u3))))) / ((-1 - theta * (-2 + u1 + u2) + (theta^2) *
(-1 + u1) * (-1 + u2) * (-1 + u3) + theta * (-1 + u1 * u2) * u3)^4)
}
# 3d first derivative wrt theta of the log-density
.amh.123.V <- function(theta, u) {
if (is.null(dim(u))) {
u1 <- u[1]
u2 <- u[2]
u3 <- u[3]
} else {
u1 <- u[, 1]
u2 <- u[, 2]
u3 <- u[, 3]
}
(-2 * (1 - u2 + (theta^7) * ((u1 - 1)^3) * ((u2 - 1)^3) *
((u3 - 1)^3) - u3 - (theta^6) * ((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) *
((u3 - 1)^2) * (-7 + u2 * (5 - 3 * u3) + u1 * (5 + u2 * (-3 + u3) -
3 * u3) + 5 * u3) + u1 * (-1 + 4 * u2 * u3) + 5 * (theta^4) *
(-1 + u1) * (-1 + u2) * (-1 + u3) * (-7 + (u2^2) * (-2 + u3) -
2 * (-4 + u3) * u3 + (u1^2) * (-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) +
u2 * (8 + (-7 + u3) * u3) + u1 * (8 + (-7 + u3) * u3 + u2 * (-7 + 2 *
(5 - 2 * u3) * u3) + (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3))) + theta *
(-7 + 9 * u2 + 9 * u3 - 2 * ((u2^2) + 3 * u2 * u3 + (u3^2)) +
(u1^2) * (-2 + u2 * u3 * (1 + 7 * u2 * u3)) + u1 * (9 - 6 * u3 + u2 *
(-6 + u3 * (-5 + u2 + u3)))) + (theta^5) * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 + u3) * (21 + 10 * (-3 + u3) * u3 + u2 * (-30 + (39 - 11 * u3) *
u3) + (u2^2) * (10 + u3 * (-11 + 2 * u3)) + u1 * (-30 +
(39 - 11 * u3) * u3 + u2 * (-3 + 2 * u3) * (-13 + 9 * u3) +
(u2^2) * (-11 - 9 * (-2 + u3) * u3)) + (u1^2) * (10 + u3 *
(-11 + 2 * u3) + u2 * (-11 - 9 * (-2 + u3) * u3) + (u2^2) *
(2 + u3 * (-9 + 8 * u3)))) + (theta^2) * (21 - u2 * (33 + (-13 + u2) *
u2) - 33 * u3 + 3 * (13 - 3 * u2) * u2 * u3 + (13 - 9 * u2) *
(u3^2) - (u3^3) + (u1^3) * (-1 + u2 * u3) * (1 + u2 * u3 *
(4 + u2 * u3)) - u1 * (33 - 39 * u3 + 3 * (u2^3) * u3 + 9 * (u3^2) +
(u2^2) * (9 + u3 * (-19 + 12 * u3)) + u2 * (-39 + u3 * (47 + u3 *
(-19 + 3 * u3)))) + (u1^2) * (13 - 9 * u3 + u2 * (-9 + u3 * (19 - 12 *
u3 + u2 * (-12 + u3 * (4 + 3 * u2 + 3 * u3)))))) + (theta^3) *
((u2^3) * (5 - 4 * u3) + (u2^2) * (-35 + 3 * (15 - 4 * u3) * u3) +
5 * (-1 + u3) * (7 + (-6 + u3) * u3) + u2 * (65 + u3 * (-105 +
(45 - 4 * u3) * u3)) - (u1^2) * (35 + 3 * u3 * (-15 + 4 * u3) +
(u2^3) * u3 * (13 + (-11 + u3) * u3) + (u2^2) * (12 + u3 * (-68 +
(63 - 11 * u3) * u3)) + u2 * (-45 + u3 * (99 + u3 *
(-68 + 13 * u3)))) + u1 * (65 - (u2^3) * (-1 + u3) * (-4 + 13 * u3) +
u3 * (-105 + (45 - 4 * u3) * u3) + (u2^2) * (45 + u3 * (-99 +
(68 - 13 * u3) * u3)) + u2 * (-105 + u3 * (185 + u3 *
(-99 + 17 * u3)))) + (u1^3) * (5 - 4 * u3 + u2 * (-4 + u3 *
(17 - 13 * u3 + u2 * (-13 + u3 * (11 - u3 + u2 * (-1 + 3 * u3))))))))) /
((-1 - theta * (-2 + u1 + u2) + (theta^2) * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 + u3) + theta * (-1 + u1 * u2) * u3) * (1 + (theta^6) *
((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) * ((u3 - 1)^2) + 2 * theta *
(-3 + u1 + u2 + u3 + 2 * u1 * u2 * u3) + 2 * (theta^5) * (-1 + u1) *
(-1 + u2) * (-1 + u3) * (3 + u2 * (-2 + u3) - 2 * u3 + u1 *
(-2 + u2 + u3)) + (theta^2) * (-10 * u1 + (u1^2) + 4 * u1 * u2 +
(u2^2) + 4 * (u1 + u2 + u1 * u2 * (-3 + u1 + u2)) * u3 +
(1 + u1 * u2 * (4 + u1 * u2)) * (u3^2) - 5 * (-3 + 2 * u2 + 2 * u3)) +
(theta^4) * (15 - 20 * u3 + 6 * (u3^2) + (u2^2) * (6 + (-6 + u3) * u3) +
u2 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3) + (u1^2) * (6 + (u2^2) *
((1 - 2 * u3)^2) + (-6 + u3) * u3 + u2 * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3)) +
u1 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3 + 4 * u2 * (-2 + u3) * (-3 + 2 * u3) +
(u2^2) * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3))) + 2 * (theta^3) * ((u2^2) *
(-2 + u3) + u2 * (-8 + u3) * u3 - 2 * (u3^2) + 10 * (-1 + u2 + u3) +
(u1^2) * (-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u1 *
(10 + (-8 + u3) * u3 + (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3) -
2 * u2 * (4 + u3 * (-5 + 2 * u3))))))
}
# 3d second derivative wrt theta of the log-density
.amh.123.S <- function(theta, u) {
if (is.null(dim(u))) {
u1 <- u[1]
u2 <- u[2]
u3 <- u[3]
} else {
u1 <- u[, 1]
u2 <- u[, 2]
u3 <- u[, 3]
}
(2 * (-2 * ((1 - u2 + (theta^7) * ((u1 - 1)^3) * ((u2 - 1)^3) *
((u3 - 1)^3) - u3 - (theta^6) * ((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) *
((u3 - 1)^2) * (-7 + u2 * (5 - 3 * u3) + u1 * (5 + u2 * (-3 + u3) - 3 * u3) +
5 * u3) + u1 * (-1 + 4 * u2 * u3) + 5 * (theta^4) * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 + u3) * (-7 + (u2^2) * (-2 + u3) - 2 * (-4 + u3) * u3 + (u1^2) *
(-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u2 * (8 + (-7 + u3) * u3) + u1 *
(8 + (-7 + u3) * u3 + u2 * (-7 + 2 * (5 - 2 * u3) * u3) + (u2^2) *
(1 + 2 * (-2 + u3) * u3))) + theta * (-7 + 9 * u2 + 9 * u3 - 2 * ((u2^2) +
3 * u2 * u3 + (u3^2)) + (u1^2) * (-2 + u2 * u3 * (1 + 7 * u2 * u3)) + u1 *
(9 - 6 * u3 + u2 * (-6 + u3 * (-5 + u2 + u3)))) + (theta^5) * (-1 + u1) *
(-1 + u2) * (-1 + u3) * (21 + 10 * (-3 + u3) * u3 + u2 * (-30 +
(39 - 11 * u3) * u3) + (u2^2) * (10 + u3 * (-11 + 2 * u3)) + u1 * (-30 +
(39 - 11 * u3) * u3 + u2 * (-3 + 2 * u3) * (-13 + 9 * u3) + (u2^2) *
(-11 - 9 * (-2 + u3) * u3)) + (u1^2) * (10 + u3 * (-11 + 2 * u3) + u2 *
(-11 - 9 * (-2 + u3) * u3) + (u2^2) * (2 + u3 * (-9 + 8 * u3)))) +
(theta^2) * (21 - u2 * (33 + (-13 + u2) * u2) - 33 * u3 + 3 * (13 - 3 * u2) *
u2 * u3 + (13 - 9 * u2) * (u3^2) - (u3^3) + (u1^3) * (-1 + u2 * u3) *
(1 + u2 * u3 * (4 + u2 * u3)) - u1 * (33 - 39 * u3 + 3 * (u2^3) * u3 + 9 *
(u3^2) + (u2^2) * (9 + u3 * (-19 + 12 * u3)) + u2 * (-39 + u3 * (47 + u3 *
(-19 + 3 * u3)))) + (u1^2) * (13 - 9 * u3 + u2 * (-9 + u3 * (19 - 12 *
u3 + u2 * (-12 + u3 * (4 + 3 * u2 + 3 * u3)))))) + (theta^3) * ((u2^3) *
(5 - 4 * u3) + (u2^2) * (-35 + 3 * (15 - 4 * u3) * u3) + 5 * (-1 + u3) *
(7 + (-6 + u3) * u3) + u2 * (65 + u3 * (-105 + (45 - 4 * u3) * u3)) -
(u1^2) * (35 + 3 * u3 * (-15 + 4 * u3) + (u2^3) * u3 * (13 + (-11 + u3) *
u3) + (u2^2) * (12 + u3 * (-68 + (63 - 11 * u3) * u3)) + u2 * (-45 + u3 *
(99 + u3 * (-68 + 13 * u3)))) + u1 * (65 - (u2^3) * (-1 + u3) *
(-4 + 13 * u3) + u3 * (-105 + (45 - 4 * u3) * u3) + (u2^2) * (45 + u3 *
(-99 + (68 - 13 * u3) * u3)) + u2 * (-105 + u3 * (185 + u3 *
(-99 + 17 * u3)))) + (u1^3) * (5 - 4 * u3 + u2 * (-4 + u3 *
(17 - 13 * u3 + u2 * (-13 + u3 * (11 - u3 + u2 * (-1 + 3 * u3))))))))^2) +
(1 + (theta^6) * ((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) * ((u3 - 1)^2) + 2 * theta *
(-3 + u1 + u2 + u3 + 2 * u1 * u2 * u3) + 2 * (theta^5) * (-1 + u1) *
(-1 + u2) * (-1 + u3) * (3 + u2 * (-2 + u3) - 2 * u3 + u1 * (-2 + u2 + u3)) +
(theta^2) * (-10 * u1 + (u1^2) + 4 * u1 * u2 + (u2^2) + 4 *
(u1 + u2 + u1 * u2 * (-3 + u1 + u2)) * u3 + (1 + u1 * u2 * (4 + u1 * u2)) *
(u3^2) - 5 * (-3 + 2 * u2 + 2 * u3)) + (theta^4) * (15 - 20 * u3 + 6 *
(u3^2) + (u2^2) * (6 + (-6 + u3) * u3) + u2 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3) +
(u1^2) * (6 + (u2^2) * ((1 - 2 * u3)^2) + (-6 + u3) * u3 + u2 * (-6 - 4 *
(-2 + u3) * u3)) + u1 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3 + 4 * u2 * (-2 + u3) *
(-3 + 2 * u3) + (u2^2) * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3))) + 2 * (theta^3) *
((u2^2) * (-2 + u3) + u2 * (-8 + u3) * u3 - 2 * (u3^2) + 10 *
(-1 + u2 + u3) + (u1^2) * (-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u1 * (10 +
(-8 + u3) * u3 + (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3) - 2 * u2 * (4 + u3 *
(-5 + 2 * u3))))) * (3 - 6 * u1 - 6 * u2 + 3 * (u2^2) + 3 * (theta^8) *
((u1 - 1)^4) * ((u2 - 1)^4) * ((u3 - 1)^4) - 6 * u3 + 4 * u2 * u3 +
3 * (u3^2) - 6 * (theta^7) * ((u1 - 1)^3) * ((u2 - 1)^3) * ((u3 - 1)^3) *
(-4 + u2 * (3 - 2 * u3) + u1 * (3 + u2 * (-2 + u3) - 2 * u3) + 3 * u3) +
4 * u1 * (u2 + u3 - 2 * u2 * u3 * (-5 + 3 * u2 + 3 * u3)) + 3 * (u1^2) *
(1 + u2 * u3 * (-8 + 9 * u2 * u3)) + 6 * (theta^5) * ((u1 - 1)^2) *
((u2 - 1)^2) * ((u3 - 1)^2) * (-28 + 5 * (u2^2) * (-2 + u3) + 5 *
(7 - 2 * u3) * u3 + u2 * (-5 + u3) * (-7 + 5 * u3) + 5 * (u1^2) *
(-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u1 * ((-5 + u3) * (-7 + 5 * u3) +
u2 * (-32 + (49 - 20 * u3) * u3) + 5 * (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3))) +
(theta^6) * ((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) * ((u3 - 1)^2) * (84 + 9 * u3 *
(-14 + 5 * u3) - 2 * u2 * (63 - 86 * u3 + 26 * (u3^2)) + (u2^2) *
(45 + 2 * u3 * (-26 + 5 * u3)) + (u1^2) * (45 + 2 * u3 * (-26 + 5 * u3) +
u2 * (-52 + 94 * u3 - 48 * (u3^2)) + (u2^2) * (10 + u3 * (-48 + 41 * u3))) +
2 * u1 * (-63 + 86 * u3 - 26 * (u3^2) + (u2^2) * (-26 + (47 - 24 * u3) *
u3) + u2 * (86 + u3 * (-127 + 47 * u3)))) + 6 * theta * (-4 + 9 * u2 + 9 *
u3 + (u2 + u3) * ((u2^2) + 3 * u2 * (-2 + u3) + (-6 + u3) * u3) + (u1^3) *
(-1 + u2 * u3) * (-1 + u2 * u3 * (2 + 5 * u2 * u3)) + u1 *
(((3 - 2 * u3)^2) - 3 * (u2^3) * u3 + (u2^2) * (4 + 2 * (11 - 8 * u3) * u3) -
u2 * (-4 + 3 * u3) * (-3 + (-6 + u3) * u3)) + (u1^2) * (-6 + 4 * u3 + u2 *
(4 - u3 * (-22 + 16 * u3 + u2 * (16 + u3 * (-14 + 3 * u2 + 3 * u3)))))) +
3 * (theta^4) * (-1 + u1) * (-1 + u2) * (-1 + u3) * ((u2^3) *
(15 - 11 * u3) + (u2^2) * (-85 + 7 * (15 - 4 * u3) * u3) + 5 * (-1 + u3) *
(14 + u3 * (-14 + 3 * u3)) + u2 * (140 + u3 * (-230 + (105 - 11 * u3) *
u3)) + (u1^2) * (-85 + 7 * (15 - 4 * u3) * u3 + (u2^3) * u3 * (-32 + u3 *
(19 + u3)) + u2 * (105 + u3 * (-221 + 8 * (19 - 4 * u3) * u3)) + (u2^2) *
(-28 + u3 * (152 + u3 * (-127 + 19 * u3)))) + u1 * (140 - (u2^3) *
(-1 + u3) * (-11 + 32 * u3) + u3 * (-230 + (105 - 11 * u3) * u3) + (u2^2) *
(105 + u3 * (-221 + 8 * (19 - 4 * u3) * u3)) + u2 * (-230 + u3 *
(400 + u3 * (-221 + 43 * u3)))) + (u1^3) * (15 - 11 * u3 + u2 * (-11 + u3 *
(43 - 32 * u3 + u2 * (-32 + u3 * (19 + u2 + u3 + 7 * u2 * u3)))))) +
2 * (theta^3) * ((u2^4) * (-9 + 8 * u3) - 3 * ((u3 - 1)^2) * (28 + 3 *
(-7 + u3) * u3) + 3 * (u2^3) * (27 + 2 * u3 * (-20 + 7 * u3)) + 3 * (u2^2) *
(-73 + 2 * u3 * (71 + 7 * (-6 + u3) * u3)) + u2 * (231 + 2 * u3 *
(-272 + u3 * (213 + 4 * (-15 + u3) * u3))) + 3 * (u1^2) * (-73 + 2 * u3 *
(71 + 7 * (-6 + u3) * u3) + (u2^4) * u3 * (7 + 2 * u3 - 8 * (u3^2)) +
(u2^2) * (-1 + u3) * (84 + u3 * (-105 + 2 * u3 * (21 + u3))) + u2 *
(142 + 7 * u3 * (-40 + u3 * (27 + (-8 + u3) * u3))) + (u2^3) *
(14 - 8 * u3 * (7 + u3 * (-5 + (-1 + u3) * u3)))) + (u1^3) * (81 + 6 * u3 *
(-20 + 7 * u3) + (u2^4) * (u3^2) * (-24 + (24 - 5 * u3) * u3) + 2 * u2 *
(-60 + u3 * (121 + 21 * (-4 + u3) * u3)) + 6 * (u2^3) * u3 * (7 + u3 *
(4 + u3 * (-13 + 4 * u3))) - 6 * (u2^2) * (-7 + 4 * u3 * (7 + u3 * (-5 +
(-1 + u3) * u3)))) + u1 * (231 + (u2^4) * (8 + 7 * u3 * (-4 + 3 * u3)) +
2 * u3 * (-272 + u3 * (213 + 4 * (-15 + u3) * u3)) + 2 * (u2^3) * (-60 +
u3 * (121 + 21 * (-4 + u3) * u3)) + 3 * (u2^2) * (142 + 7 * u3 *
(-40 + u3 * (27 + (-8 + u3) * u3))) - 2 * u2 * (272 + u3 * (-583 + u3 *
(420 + u3 * (-121 + 14 * u3))))) + (u1^4) * (-1 + u2 * u3) * (9 - 8 * u3 +
u2 * (-8 + u3 * (37 - 29 * u3 + u2 * (-29 + u3 * (31 - 5 * u3 + u2 *
(-5 + 7 * u3))))))) + 3 * (theta^2) * ((u2^4) + 4 * (u2^3) * (-4 + 3 * u3) +
((u3 - 1)^2) * (28 + (-14 + u3) * u3) + (u2^2) * (57 + 4 * u3 *
(-19 + 6 * u3)) + (u1^4) * ((-1 + u2 * u3)^2) * (1 + u2 * u3 *
(4 + u2 * u3)) + 2 * u2 * (-35 + 2 * u3 * (33 + u3 * (-19 + 3 * u3))) +
(u1^2) * (57 - 6 * (u2^4) * (u3^2) + 4 * u3 * (-19 + 6 * u3) - 2 *
(u2^3) * u3 * (5 + 4 * u3 * (-7 + 5 * u3)) + u2 * (-76 + 2 * u3 *
(11 + (24 - 5 * u3) * u3)) + (u2^2) * (24 + u3 * (48 + u3 * (-111 + 56 *
u3 - 6 * (u3^2))))) + 2 * u1 * (-35 + (u2^4) * u3 + (u2^3) * (6 + u3 - 5 *
(u3^2)) + 2 * u3 * (33 + u3 * (-19 + 3 * u3)) + (u2^2) * (-38 + u3 *
(11 + (24 - 5 * u3) * u3)) + u2 * (66 + u3 * (-73 + u3 * (11 + u3 +
(u3^2))))) + 2 * (u1^3) * (-8 + 6 * u3 + u2 * (6 + u3 * (1 - 5 * u3 + u2 *
(-5 + u3 * (28 - 20 * u3 + u2 * (-20 + u3 * (15 + u2 + u3))))))))))) /
(((-1 - theta * (-2 + u1 + u2) + (theta^2) * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 + u3) + theta * (-1 + u1 * u2) * u3)^2) * ((1 + (theta^6) *
((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) * ((u3 - 1)^2) + 2 * theta * (-3 + u1 + u2 +
u3 + 2 * u1 * u2 * u3) + 2 * (theta^5) * (-1 + u1) * (-1 + u2) * (-1 + u3) *
(3 + u2 * (-2 + u3) - 2 * u3 + u1 * (-2 + u2 + u3)) + (theta^2) * (-10 *
u1 + (u1^2) + 4 * u1 * u2 + (u2^2) + 4 * (u1 + u2 + u1 * u2 * (-3 + u1 +
u2)) * u3 + (1 + u1 * u2 * (4 + u1 * u2)) * (u3^2) - 5 *
(-3 + 2 * u2 + 2 * u3)) + (theta^4) * (15 - 20 * u3 + 6 * (u3^2) + (u2^2) *
(6 + (-6 + u3) * u3) + u2 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3) + (u1^2) *
(6 + (u2^2) * ((1 - 2 * u3)^2) + (-6 + u3) * u3 + u2 * (-6 - 4 *
(-2 + u3) * u3)) + u1 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3 + 4 * u2 * (-2 + u3) *
(-3 + 2 * u3) + (u2^2) * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3))) + 2 * (theta^3) *
((u2^2) * (-2 + u3) + u2 * (-8 + u3) * u3 - 2 * (u3^2) + 10 *
(-1 + u2 + u3) + (u1^2) * (-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u1 *
(10 + (-8 + u3) * u3 + (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3) - 2 * u2 *
(4 + u3 * (-5 + 2 * u3)))))^2))
}
Try the gofCopula package in your browser
Any scripts or data that you put into this service are public.
gofCopula documentation built on April 22, 2021, 5:10 p.m.
R Package Documentation
Browse R Packages
We want your feedback!
Note that we can't provide technical support on individual packages. You should contact the package authors for that.
Defines functions .amh.123.S .amh.123.V .amh.123.density .amh.12.S .amh.12.V .amh.12.density
# Internal functions for the derivation of the amh copula for the PIOSRn and
# PIOSTn test statistics. Called by .Rn and .Tn, the internal functions for
# their test statistics.
# 2d density
.amh.12.density <- function(theta, u) {
if (is.null(dim(u))) {
u1 <- u[1]
u2 <- u[2]
} else {
u1 <- u[, 1]
u2 <- u[, 2]
}
-(1 + theta * (-2 + u1 + theta * (-1 + u1) * (-1 + u2) + u2 + u1 * u2)) /
((-1 + theta * (-1 + u1) * (-1 + u2))^3)
}
# 2d first derivative wrt theta of the log-density
.amh.12.V <- function(theta, u1, u2) {
(-1 + u1 * (2 - 4 * u2) - (theta^2) * ((-1 + u1)^2) *
((-1 + u2)^2) + 2 * u2 - 2 * theta * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 + u1 + u2 + u1 * u2)) / ((-1 + theta * (-1 + u1) * (-1 + u2)) *
(1 + theta * (-2 + u1 + theta * (-1 + u1) *
(-1 + u2) + u2 + u1 * u2)))
}
# 2d second derivative wrt theta of the log-density
.amh.12.S <- function(theta, u1, u2) {
(1 + (theta^4) * ((-1 + u1)^4) * ((-1 + u2)^4) + 2 * (-2 + u2) * u2 +
4 * (theta^3) * ((-1 + u1)^3) * ((-1 + u2)^3) * (-1 + u1 + u2 + u1 * u2) +
2 * (u1^2) * (1 + (-4 + u2) * u2) - 4 * u1 * (1 + 2 * (-2 + u2) * u2) +
2 * (theta^2) * ((-1 + u1)^2) * ((-1 + u2)^2) *
(3 + (-6 + u2) * u2 + (u1^2) * ((1 + u2)^2) +
2 * u1 * (-1 + u2) * (3 + u2)) + 4 * theta * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 - (-3 + u2) * u2 + u1 * (3 + (-7 + u2) * u2) + (u1^2) *
(-1 + u2 + 2 * (u2^2)))) /
(((-1 + theta * (-1 + u1) * (-1 + u2))^2) *
((1 + theta * (-2 + u1 + theta * (-1 + u1) *
(-1 + u2) + u2 + u1 * u2))^2))
}
# 3d density
.amh.123.density <- function(theta, u) {
if (is.null(dim(u))) {
u1 <- u[1]
u2 <- u[2]
u3 <- u[3]
} else {
u1 <- u[, 1]
u2 <- u[, 2]
u3 <- u[, 3]
}
(1 + (theta^6) * ((-1 + u1)^2) * ((-1 + u2)^2) *
((-1 + u3)^2) + 2 * theta * (-3 + u1 + u2 + u3 + 2 * u1 * u2 * u3) +
2 * (theta^5) * (-1 + u1) * (-1 + u2) * (-1 + u3) *
(3 + u2 * (-2 + u3) - 2 * u3 + u1 * (-2 + u2 + u3)) +
(theta^2) * (-10 * u1 + (u1^2) + 4 * u1 * u2 + (u2^2) + 4 *
(u1 + u2 + u1 * u2 * (-3 + u1 + u2)) * u3 +
(1 + u1 * u2 * (4 + u1 * u2)) * (u3^2) - 5 * (-3 + 2 * u2 + 2 * u3)) +
(theta^4) * (15 - 20 * u3 + 6 * (u3^2) + (u2^2) * (6 + (-6 + u3) * u3) +
u2 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3) + (u1^2) * (6 + (u2^2) *
((1 - 2 * u3)^2) + (-6 + u3) * u3 + u2 * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3)) +
u1 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3 + 4 * u2 * (-2 + u3) * (-3 + 2 * u3) +
(u2^2) * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3))) + 2 * (theta^3) * ((u2^2) *
(-2 + u3) + u2 * (-8 + u3) * u3 - 2 * (u3^2) + 10 * (-1 + u2 + u3) +
(u1^2) * (-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u1 * (10 + (-8 + u3) *
u3 + (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3) - 2 * u2 * (4 + u3 *
(-5 + 2 * u3))))) / ((-1 - theta * (-2 + u1 + u2) + (theta^2) *
(-1 + u1) * (-1 + u2) * (-1 + u3) + theta * (-1 + u1 * u2) * u3)^4)
}
# 3d first derivative wrt theta of the log-density
.amh.123.V <- function(theta, u) {
if (is.null(dim(u))) {
u1 <- u[1]
u2 <- u[2]
u3 <- u[3]
} else {
u1 <- u[, 1]
u2 <- u[, 2]
u3 <- u[, 3]
}
(-2 * (1 - u2 + (theta^7) * ((u1 - 1)^3) * ((u2 - 1)^3) *
((u3 - 1)^3) - u3 - (theta^6) * ((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) *
((u3 - 1)^2) * (-7 + u2 * (5 - 3 * u3) + u1 * (5 + u2 * (-3 + u3) -
3 * u3) + 5 * u3) + u1 * (-1 + 4 * u2 * u3) + 5 * (theta^4) *
(-1 + u1) * (-1 + u2) * (-1 + u3) * (-7 + (u2^2) * (-2 + u3) -
2 * (-4 + u3) * u3 + (u1^2) * (-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) +
u2 * (8 + (-7 + u3) * u3) + u1 * (8 + (-7 + u3) * u3 + u2 * (-7 + 2 *
(5 - 2 * u3) * u3) + (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3))) + theta *
(-7 + 9 * u2 + 9 * u3 - 2 * ((u2^2) + 3 * u2 * u3 + (u3^2)) +
(u1^2) * (-2 + u2 * u3 * (1 + 7 * u2 * u3)) + u1 * (9 - 6 * u3 + u2 *
(-6 + u3 * (-5 + u2 + u3)))) + (theta^5) * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 + u3) * (21 + 10 * (-3 + u3) * u3 + u2 * (-30 + (39 - 11 * u3) *
u3) + (u2^2) * (10 + u3 * (-11 + 2 * u3)) + u1 * (-30 +
(39 - 11 * u3) * u3 + u2 * (-3 + 2 * u3) * (-13 + 9 * u3) +
(u2^2) * (-11 - 9 * (-2 + u3) * u3)) + (u1^2) * (10 + u3 *
(-11 + 2 * u3) + u2 * (-11 - 9 * (-2 + u3) * u3) + (u2^2) *
(2 + u3 * (-9 + 8 * u3)))) + (theta^2) * (21 - u2 * (33 + (-13 + u2) *
u2) - 33 * u3 + 3 * (13 - 3 * u2) * u2 * u3 + (13 - 9 * u2) *
(u3^2) - (u3^3) + (u1^3) * (-1 + u2 * u3) * (1 + u2 * u3 *
(4 + u2 * u3)) - u1 * (33 - 39 * u3 + 3 * (u2^3) * u3 + 9 * (u3^2) +
(u2^2) * (9 + u3 * (-19 + 12 * u3)) + u2 * (-39 + u3 * (47 + u3 *
(-19 + 3 * u3)))) + (u1^2) * (13 - 9 * u3 + u2 * (-9 + u3 * (19 - 12 *
u3 + u2 * (-12 + u3 * (4 + 3 * u2 + 3 * u3)))))) + (theta^3) *
((u2^3) * (5 - 4 * u3) + (u2^2) * (-35 + 3 * (15 - 4 * u3) * u3) +
5 * (-1 + u3) * (7 + (-6 + u3) * u3) + u2 * (65 + u3 * (-105 +
(45 - 4 * u3) * u3)) - (u1^2) * (35 + 3 * u3 * (-15 + 4 * u3) +
(u2^3) * u3 * (13 + (-11 + u3) * u3) + (u2^2) * (12 + u3 * (-68 +
(63 - 11 * u3) * u3)) + u2 * (-45 + u3 * (99 + u3 *
(-68 + 13 * u3)))) + u1 * (65 - (u2^3) * (-1 + u3) * (-4 + 13 * u3) +
u3 * (-105 + (45 - 4 * u3) * u3) + (u2^2) * (45 + u3 * (-99 +
(68 - 13 * u3) * u3)) + u2 * (-105 + u3 * (185 + u3 *
(-99 + 17 * u3)))) + (u1^3) * (5 - 4 * u3 + u2 * (-4 + u3 *
(17 - 13 * u3 + u2 * (-13 + u3 * (11 - u3 + u2 * (-1 + 3 * u3))))))))) /
((-1 - theta * (-2 + u1 + u2) + (theta^2) * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 + u3) + theta * (-1 + u1 * u2) * u3) * (1 + (theta^6) *
((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) * ((u3 - 1)^2) + 2 * theta *
(-3 + u1 + u2 + u3 + 2 * u1 * u2 * u3) + 2 * (theta^5) * (-1 + u1) *
(-1 + u2) * (-1 + u3) * (3 + u2 * (-2 + u3) - 2 * u3 + u1 *
(-2 + u2 + u3)) + (theta^2) * (-10 * u1 + (u1^2) + 4 * u1 * u2 +
(u2^2) + 4 * (u1 + u2 + u1 * u2 * (-3 + u1 + u2)) * u3 +
(1 + u1 * u2 * (4 + u1 * u2)) * (u3^2) - 5 * (-3 + 2 * u2 + 2 * u3)) +
(theta^4) * (15 - 20 * u3 + 6 * (u3^2) + (u2^2) * (6 + (-6 + u3) * u3) +
u2 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3) + (u1^2) * (6 + (u2^2) *
((1 - 2 * u3)^2) + (-6 + u3) * u3 + u2 * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3)) +
u1 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3 + 4 * u2 * (-2 + u3) * (-3 + 2 * u3) +
(u2^2) * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3))) + 2 * (theta^3) * ((u2^2) *
(-2 + u3) + u2 * (-8 + u3) * u3 - 2 * (u3^2) + 10 * (-1 + u2 + u3) +
(u1^2) * (-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u1 *
(10 + (-8 + u3) * u3 + (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3) -
2 * u2 * (4 + u3 * (-5 + 2 * u3))))))
}
# 3d second derivative wrt theta of the log-density
.amh.123.S <- function(theta, u) {
if (is.null(dim(u))) {
u1 <- u[1]
u2 <- u[2]
u3 <- u[3]
} else {
u1 <- u[, 1]
u2 <- u[, 2]
u3 <- u[, 3]
}
(2 * (-2 * ((1 - u2 + (theta^7) * ((u1 - 1)^3) * ((u2 - 1)^3) *
((u3 - 1)^3) - u3 - (theta^6) * ((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) *
((u3 - 1)^2) * (-7 + u2 * (5 - 3 * u3) + u1 * (5 + u2 * (-3 + u3) - 3 * u3) +
5 * u3) + u1 * (-1 + 4 * u2 * u3) + 5 * (theta^4) * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 + u3) * (-7 + (u2^2) * (-2 + u3) - 2 * (-4 + u3) * u3 + (u1^2) *
(-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u2 * (8 + (-7 + u3) * u3) + u1 *
(8 + (-7 + u3) * u3 + u2 * (-7 + 2 * (5 - 2 * u3) * u3) + (u2^2) *
(1 + 2 * (-2 + u3) * u3))) + theta * (-7 + 9 * u2 + 9 * u3 - 2 * ((u2^2) +
3 * u2 * u3 + (u3^2)) + (u1^2) * (-2 + u2 * u3 * (1 + 7 * u2 * u3)) + u1 *
(9 - 6 * u3 + u2 * (-6 + u3 * (-5 + u2 + u3)))) + (theta^5) * (-1 + u1) *
(-1 + u2) * (-1 + u3) * (21 + 10 * (-3 + u3) * u3 + u2 * (-30 +
(39 - 11 * u3) * u3) + (u2^2) * (10 + u3 * (-11 + 2 * u3)) + u1 * (-30 +
(39 - 11 * u3) * u3 + u2 * (-3 + 2 * u3) * (-13 + 9 * u3) + (u2^2) *
(-11 - 9 * (-2 + u3) * u3)) + (u1^2) * (10 + u3 * (-11 + 2 * u3) + u2 *
(-11 - 9 * (-2 + u3) * u3) + (u2^2) * (2 + u3 * (-9 + 8 * u3)))) +
(theta^2) * (21 - u2 * (33 + (-13 + u2) * u2) - 33 * u3 + 3 * (13 - 3 * u2) *
u2 * u3 + (13 - 9 * u2) * (u3^2) - (u3^3) + (u1^3) * (-1 + u2 * u3) *
(1 + u2 * u3 * (4 + u2 * u3)) - u1 * (33 - 39 * u3 + 3 * (u2^3) * u3 + 9 *
(u3^2) + (u2^2) * (9 + u3 * (-19 + 12 * u3)) + u2 * (-39 + u3 * (47 + u3 *
(-19 + 3 * u3)))) + (u1^2) * (13 - 9 * u3 + u2 * (-9 + u3 * (19 - 12 *
u3 + u2 * (-12 + u3 * (4 + 3 * u2 + 3 * u3)))))) + (theta^3) * ((u2^3) *
(5 - 4 * u3) + (u2^2) * (-35 + 3 * (15 - 4 * u3) * u3) + 5 * (-1 + u3) *
(7 + (-6 + u3) * u3) + u2 * (65 + u3 * (-105 + (45 - 4 * u3) * u3)) -
(u1^2) * (35 + 3 * u3 * (-15 + 4 * u3) + (u2^3) * u3 * (13 + (-11 + u3) *
u3) + (u2^2) * (12 + u3 * (-68 + (63 - 11 * u3) * u3)) + u2 * (-45 + u3 *
(99 + u3 * (-68 + 13 * u3)))) + u1 * (65 - (u2^3) * (-1 + u3) *
(-4 + 13 * u3) + u3 * (-105 + (45 - 4 * u3) * u3) + (u2^2) * (45 + u3 *
(-99 + (68 - 13 * u3) * u3)) + u2 * (-105 + u3 * (185 + u3 *
(-99 + 17 * u3)))) + (u1^3) * (5 - 4 * u3 + u2 * (-4 + u3 *
(17 - 13 * u3 + u2 * (-13 + u3 * (11 - u3 + u2 * (-1 + 3 * u3))))))))^2) +
(1 + (theta^6) * ((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) * ((u3 - 1)^2) + 2 * theta *
(-3 + u1 + u2 + u3 + 2 * u1 * u2 * u3) + 2 * (theta^5) * (-1 + u1) *
(-1 + u2) * (-1 + u3) * (3 + u2 * (-2 + u3) - 2 * u3 + u1 * (-2 + u2 + u3)) +
(theta^2) * (-10 * u1 + (u1^2) + 4 * u1 * u2 + (u2^2) + 4 *
(u1 + u2 + u1 * u2 * (-3 + u1 + u2)) * u3 + (1 + u1 * u2 * (4 + u1 * u2)) *
(u3^2) - 5 * (-3 + 2 * u2 + 2 * u3)) + (theta^4) * (15 - 20 * u3 + 6 *
(u3^2) + (u2^2) * (6 + (-6 + u3) * u3) + u2 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3) +
(u1^2) * (6 + (u2^2) * ((1 - 2 * u3)^2) + (-6 + u3) * u3 + u2 * (-6 - 4 *
(-2 + u3) * u3)) + u1 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3 + 4 * u2 * (-2 + u3) *
(-3 + 2 * u3) + (u2^2) * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3))) + 2 * (theta^3) *
((u2^2) * (-2 + u3) + u2 * (-8 + u3) * u3 - 2 * (u3^2) + 10 *
(-1 + u2 + u3) + (u1^2) * (-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u1 * (10 +
(-8 + u3) * u3 + (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3) - 2 * u2 * (4 + u3 *
(-5 + 2 * u3))))) * (3 - 6 * u1 - 6 * u2 + 3 * (u2^2) + 3 * (theta^8) *
((u1 - 1)^4) * ((u2 - 1)^4) * ((u3 - 1)^4) - 6 * u3 + 4 * u2 * u3 +
3 * (u3^2) - 6 * (theta^7) * ((u1 - 1)^3) * ((u2 - 1)^3) * ((u3 - 1)^3) *
(-4 + u2 * (3 - 2 * u3) + u1 * (3 + u2 * (-2 + u3) - 2 * u3) + 3 * u3) +
4 * u1 * (u2 + u3 - 2 * u2 * u3 * (-5 + 3 * u2 + 3 * u3)) + 3 * (u1^2) *
(1 + u2 * u3 * (-8 + 9 * u2 * u3)) + 6 * (theta^5) * ((u1 - 1)^2) *
((u2 - 1)^2) * ((u3 - 1)^2) * (-28 + 5 * (u2^2) * (-2 + u3) + 5 *
(7 - 2 * u3) * u3 + u2 * (-5 + u3) * (-7 + 5 * u3) + 5 * (u1^2) *
(-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u1 * ((-5 + u3) * (-7 + 5 * u3) +
u2 * (-32 + (49 - 20 * u3) * u3) + 5 * (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3))) +
(theta^6) * ((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) * ((u3 - 1)^2) * (84 + 9 * u3 *
(-14 + 5 * u3) - 2 * u2 * (63 - 86 * u3 + 26 * (u3^2)) + (u2^2) *
(45 + 2 * u3 * (-26 + 5 * u3)) + (u1^2) * (45 + 2 * u3 * (-26 + 5 * u3) +
u2 * (-52 + 94 * u3 - 48 * (u3^2)) + (u2^2) * (10 + u3 * (-48 + 41 * u3))) +
2 * u1 * (-63 + 86 * u3 - 26 * (u3^2) + (u2^2) * (-26 + (47 - 24 * u3) *
u3) + u2 * (86 + u3 * (-127 + 47 * u3)))) + 6 * theta * (-4 + 9 * u2 + 9 *
u3 + (u2 + u3) * ((u2^2) + 3 * u2 * (-2 + u3) + (-6 + u3) * u3) + (u1^3) *
(-1 + u2 * u3) * (-1 + u2 * u3 * (2 + 5 * u2 * u3)) + u1 *
(((3 - 2 * u3)^2) - 3 * (u2^3) * u3 + (u2^2) * (4 + 2 * (11 - 8 * u3) * u3) -
u2 * (-4 + 3 * u3) * (-3 + (-6 + u3) * u3)) + (u1^2) * (-6 + 4 * u3 + u2 *
(4 - u3 * (-22 + 16 * u3 + u2 * (16 + u3 * (-14 + 3 * u2 + 3 * u3)))))) +
3 * (theta^4) * (-1 + u1) * (-1 + u2) * (-1 + u3) * ((u2^3) *
(15 - 11 * u3) + (u2^2) * (-85 + 7 * (15 - 4 * u3) * u3) + 5 * (-1 + u3) *
(14 + u3 * (-14 + 3 * u3)) + u2 * (140 + u3 * (-230 + (105 - 11 * u3) *
u3)) + (u1^2) * (-85 + 7 * (15 - 4 * u3) * u3 + (u2^3) * u3 * (-32 + u3 *
(19 + u3)) + u2 * (105 + u3 * (-221 + 8 * (19 - 4 * u3) * u3)) + (u2^2) *
(-28 + u3 * (152 + u3 * (-127 + 19 * u3)))) + u1 * (140 - (u2^3) *
(-1 + u3) * (-11 + 32 * u3) + u3 * (-230 + (105 - 11 * u3) * u3) + (u2^2) *
(105 + u3 * (-221 + 8 * (19 - 4 * u3) * u3)) + u2 * (-230 + u3 *
(400 + u3 * (-221 + 43 * u3)))) + (u1^3) * (15 - 11 * u3 + u2 * (-11 + u3 *
(43 - 32 * u3 + u2 * (-32 + u3 * (19 + u2 + u3 + 7 * u2 * u3)))))) +
2 * (theta^3) * ((u2^4) * (-9 + 8 * u3) - 3 * ((u3 - 1)^2) * (28 + 3 *
(-7 + u3) * u3) + 3 * (u2^3) * (27 + 2 * u3 * (-20 + 7 * u3)) + 3 * (u2^2) *
(-73 + 2 * u3 * (71 + 7 * (-6 + u3) * u3)) + u2 * (231 + 2 * u3 *
(-272 + u3 * (213 + 4 * (-15 + u3) * u3))) + 3 * (u1^2) * (-73 + 2 * u3 *
(71 + 7 * (-6 + u3) * u3) + (u2^4) * u3 * (7 + 2 * u3 - 8 * (u3^2)) +
(u2^2) * (-1 + u3) * (84 + u3 * (-105 + 2 * u3 * (21 + u3))) + u2 *
(142 + 7 * u3 * (-40 + u3 * (27 + (-8 + u3) * u3))) + (u2^3) *
(14 - 8 * u3 * (7 + u3 * (-5 + (-1 + u3) * u3)))) + (u1^3) * (81 + 6 * u3 *
(-20 + 7 * u3) + (u2^4) * (u3^2) * (-24 + (24 - 5 * u3) * u3) + 2 * u2 *
(-60 + u3 * (121 + 21 * (-4 + u3) * u3)) + 6 * (u2^3) * u3 * (7 + u3 *
(4 + u3 * (-13 + 4 * u3))) - 6 * (u2^2) * (-7 + 4 * u3 * (7 + u3 * (-5 +
(-1 + u3) * u3)))) + u1 * (231 + (u2^4) * (8 + 7 * u3 * (-4 + 3 * u3)) +
2 * u3 * (-272 + u3 * (213 + 4 * (-15 + u3) * u3)) + 2 * (u2^3) * (-60 +
u3 * (121 + 21 * (-4 + u3) * u3)) + 3 * (u2^2) * (142 + 7 * u3 *
(-40 + u3 * (27 + (-8 + u3) * u3))) - 2 * u2 * (272 + u3 * (-583 + u3 *
(420 + u3 * (-121 + 14 * u3))))) + (u1^4) * (-1 + u2 * u3) * (9 - 8 * u3 +
u2 * (-8 + u3 * (37 - 29 * u3 + u2 * (-29 + u3 * (31 - 5 * u3 + u2 *
(-5 + 7 * u3))))))) + 3 * (theta^2) * ((u2^4) + 4 * (u2^3) * (-4 + 3 * u3) +
((u3 - 1)^2) * (28 + (-14 + u3) * u3) + (u2^2) * (57 + 4 * u3 *
(-19 + 6 * u3)) + (u1^4) * ((-1 + u2 * u3)^2) * (1 + u2 * u3 *
(4 + u2 * u3)) + 2 * u2 * (-35 + 2 * u3 * (33 + u3 * (-19 + 3 * u3))) +
(u1^2) * (57 - 6 * (u2^4) * (u3^2) + 4 * u3 * (-19 + 6 * u3) - 2 *
(u2^3) * u3 * (5 + 4 * u3 * (-7 + 5 * u3)) + u2 * (-76 + 2 * u3 *
(11 + (24 - 5 * u3) * u3)) + (u2^2) * (24 + u3 * (48 + u3 * (-111 + 56 *
u3 - 6 * (u3^2))))) + 2 * u1 * (-35 + (u2^4) * u3 + (u2^3) * (6 + u3 - 5 *
(u3^2)) + 2 * u3 * (33 + u3 * (-19 + 3 * u3)) + (u2^2) * (-38 + u3 *
(11 + (24 - 5 * u3) * u3)) + u2 * (66 + u3 * (-73 + u3 * (11 + u3 +
(u3^2))))) + 2 * (u1^3) * (-8 + 6 * u3 + u2 * (6 + u3 * (1 - 5 * u3 + u2 *
(-5 + u3 * (28 - 20 * u3 + u2 * (-20 + u3 * (15 + u2 + u3))))))))))) /
(((-1 - theta * (-2 + u1 + u2) + (theta^2) * (-1 + u1) * (-1 + u2) *
(-1 + u3) + theta * (-1 + u1 * u2) * u3)^2) * ((1 + (theta^6) *
((u1 - 1)^2) * ((u2 - 1)^2) * ((u3 - 1)^2) + 2 * theta * (-3 + u1 + u2 +
u3 + 2 * u1 * u2 * u3) + 2 * (theta^5) * (-1 + u1) * (-1 + u2) * (-1 + u3) *
(3 + u2 * (-2 + u3) - 2 * u3 + u1 * (-2 + u2 + u3)) + (theta^2) * (-10 *
u1 + (u1^2) + 4 * u1 * u2 + (u2^2) + 4 * (u1 + u2 + u1 * u2 * (-3 + u1 +
u2)) * u3 + (1 + u1 * u2 * (4 + u1 * u2)) * (u3^2) - 5 *
(-3 + 2 * u2 + 2 * u3)) + (theta^4) * (15 - 20 * u3 + 6 * (u3^2) + (u2^2) *
(6 + (-6 + u3) * u3) + u2 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3) + (u1^2) *
(6 + (u2^2) * ((1 - 2 * u3)^2) + (-6 + u3) * u3 + u2 * (-6 - 4 *
(-2 + u3) * u3)) + u1 * (-20 - 6 * (-4 + u3) * u3 + 4 * u2 * (-2 + u3) *
(-3 + 2 * u3) + (u2^2) * (-6 - 4 * (-2 + u3) * u3))) + 2 * (theta^3) *
((u2^2) * (-2 + u3) + u2 * (-8 + u3) * u3 - 2 * (u3^2) + 10 *
(-1 + u2 + u3) + (u1^2) * (-2 + u2 + u3) * (1 + 2 * u2 * u3) + u1 *
(10 + (-8 + u3) * u3 + (u2^2) * (1 + 2 * (-2 + u3) * u3) - 2 * u2 *
(4 + u3 * (-5 + 2 * u3)))))^2))
}
Try the gofCopula package in your browser
Any scripts or data that you put into this service are public.
R Package Documentation
Browse R Packages
We want your feedback!
Note that we can't provide technical support on individual packages. You should contact the package authors for that.
Embedding an R snippet on your website
Add the following code to your website.
For more information on customizing the embed code, read Embedding Snippets.