In JessicaSousa/INF2471.P1: Implementation of the first algebra test

knitr::opts_chunk$set(
  collapse = TRUE,
  comment = "#>"
)

1a Questão

Seja $A_{a,b,n}$ $\in$ $\mathbf{R}^{n\times n}$ uma matriz tri-diagonal dada por: $$A_{a,b,n}=\begin{bmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0 & 0\ b & a & b & \ddots & \ddots & \vdots\ 0 & b & a & b & \ddots & \vdots\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\ \vdots & \ddots & \ddots & b & a & b\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & b & a \end{bmatrix} _{n,n}$$

# a) Faça um algoritmo para obter uma decomposição Cholesky de uma matriz tridiagonal $A_{a,b,n}$, supondo que ela seja definida positiva.

A <- matrix(c(8,2,0,0,
              2,8,2,0,
              0,2,8,2,
              0,0,2,8),nrow=4,ncol=4)

print(A)
cho <- INF2471.P1::cholesky(A)
print(cho)
print(cho%*%t(cho))

# b) Faça um algoritmo para obter uma decomposição QR de uma matriz tridiagonal $A_{a,b,n}$. Escolha entre Gram-Schmidt, Householder e Givens, a que melhor se aplica nesse contexto .

print('R')

3a Questão

Determine uma base ortonormal para o espaço complementar ortogonal ao vetor $v=[1,-1,1]$ $\in$ $\mathbf{R}^3$

v <- matrix(c(1, -1, 1), byrow = T, nrow = 1)
base <- INF2471.P1::find_orthogonal_complement(v)
print(base)
base_ortonormal <- INF2471.P1::apply_Gram_Schmidt(base)
print(base_ortonormal)

#Dois vetores são ortonormais entre si, se o produto interno deles 
#é igual a zero e se possuem norma 1.
#Produto Interno
print(INF2471.P1::dotprod(base_ortonormal[1, ], base_ortonormal[2, ]))
#Norma
print(INF2471.P1::magnitude(base_ortonormal[1, ]))
print(INF2471.P1::magnitude(base_ortonormal[2, ]))

library(rgl)
mfrow3d(nr = 1, nc = 1, sharedMouse = TRUE)
plot3d('')
arrow3d(c(0,0,0), c(1,-1,1), barblen=.2, lwd=3, col="green")
arrow3d(c(0,0,0), base_ortonormal[1, ], barblen=.2, lwd=3, col="blue")
arrow3d(c(0,0,0), base_ortonormal[2, ], barblen=.2, lwd=3, col="blue")
rglwidget()

4a Questão

Calcule a pseudoinversa de A: $$A=\begin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & 1\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

A <- matrix(c(1, 0, 1,
               0, 1, 1), ncol = 2)
print(A)
pseudoinverse <- INF2471.P1::apply_pseudo_inverse(A)
print(pseudoinverse)

JessicaSousa/INF2471.P1 documentation built on May 21, 2019, 4:03 a.m.