In bendeivide/midrangeMCP: Multiples Comparisons Procedures Based on Studentized Midrange and Range Distributions

## Loading package
library(midrangeMCP)
##
knitr::opts_chunk$set(
  collapse = TRUE,
  comment = "#>"
)

Install midrangeMCP package

Archive.r (R Studio)

install.packages("midrangeMCP")

Console (R Studio)

> install.packages("midrangeMCP")
tentando a URL 'https://cran.rstudio.com/bin/windows/contrib/4.0/midrangeMCP_3.1.zip'
Content type 'application/zip' length 122987 bytes (120 KB)
downloaded 120 KB

package ‘midrangeMCP’ successfully unpacked and MD5 sums checked

MidrangeMCP Package

The three main functions (Application):

MRtest Function:

A primeira função do pacote midrangeMCP a ser apresentada é MRTest. Inicialmente, criou-se um arquivo que armazenou o banco de dados, intitulado datast1980.txt. No R:

dados <- read.table("datast1980.txt", h =T)
dados$trt <- factor(dados$trt)
attach(dados) # Quebrando o objeto dados

> dados
trt y
1 1 19.4
2 1 32.6
3 1 27.0
4 1 32.1
5 1 33.0
6 2 17.7
7 2 24.8
8 2 27.9
9 2 25.2
10 2 24.3
11 3 17.0
12 3 19.4
13 3 9.1
14 3 11.9
15 3 15.8
16 4 20.7
17 4 21.0
18 4 20.5
19 4 18.8
20 4 18.6
21 5 14.3
22 5 14.4
23 5 11.8
24 5 11.6
25 5 14.2
26 6 17.3
27 6 19.4
28 6 19.1
29 6 16.9
30 6 20.8

A codificação dos tratamentos no banco de dados foi da seguinte forma:

Tratamento | Codificação --------- | ------ 3DOK1 | 1 3DOK5 | 2 3DOK4 | 3 3DOK7 | 4 3DOK13 | 5 COMPOS | 6

Realizando a análise de variância para obter o quadrado médio e o grau de liberdade do resíduo, tem-se:

anava <- aov(y~trt)

Os argumentos y e trt da função MRtest têm três tipos de entrada:

• y como objeto da função aov. Assim, para o argumento trt basta informar o nome da coluna que armazena os níveis do tratamento:

MRtest(y = anava, trt = "trt")

MCP’s based on distributions of the studentized midrange
and range
Study: aov(y ~ trt) ~ "trt"
Summary:
Means std r Min Max
1 28.82 5.80 5 19.4 33.0
2 23.98 3.78 5 17.7 27.9
3 14.64 4.12 5 9.1 19.4
4 19.92 1.13 5 18.6 21.0
5 13.26 1.43 5 11.6 14.4
6 18.70 1.60 5 16.9 20.8
Scott-Knott Midrange Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid Ext.DMS Int.DMS
19.89 17.27 11.78867 24 6 1.004855 1.986204 1.542945
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g3
6 18.70 g3
3 14.64 g4
5 13.26 g4
Mean Grouping Range Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Range DMS
19.88667 17.26515 11.78867 24 6 4.372651 6.714167
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g2
6 18.70 g2
3 14.64 g3
5 13.26 g3
SNK Midrange Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid DMS
comp1 19.8867 17.2651 11.7887 24 6 1.0049 1.9862
comp2 19.8867 17.2651 11.7887 24 5 1.0555 2.0640
comp3 19.8867 17.2651 11.7887 24 4 1.1278 2.1750
comp4 19.8867 17.2651 11.7887 24 3 1.2422 2.3506
comp5 19.8867 17.2651 11.7887 24 2 1.4594 2.6841
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g1g2
4 19.92 g2
6 18.70 g2g3
3 14.64 g2g3
5 13.26 g3
Tukey Midrange Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid Ext.DMS Int.DMS
19.89 17.27 11.78867 24 6 1.004855 1.986204 1.542945
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g3
6 18.70 g3
3 14.64 g4
5 13.26 g4

• $y$ como vetor da variável resposta e o argumento $trt$ como vetor dos tratamentos. Assim, deve-se informar na função MRtest o valor do quadrado médio e o grau de liberdade do resíduo nos argumentos $mserror$ e $dferror$, respectivamente. Dessa forma, tem-se:

anava <- aov(y~trt)
glerror <- df.residual(anava)
qmerror <- deviance(anava) / glerror
#Aplicando os testes
MRtest(y = y,
trt = trt,
dferror = glerror,
mserror = qmerror)

MCP’s based on distributions of the studentized midrange
and range
Study: y ~ trt
Summary:
Means std r Min Max
1 28.82 5.80 5 19.4 33.0
2 23.98 3.78 5 17.7 27.9
3 14.64 4.12 5 9.1 19.4
4 19.92 1.13 5 18.6 21.0
5 13.26 1.43 5 11.6 14.4
6 18.70 1.60 5 16.9 20.8
Scott-Knott Midrange Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid Ext.DMS Int.DMS
19.89 17.27 11.78867 24 6 1.004855 1.986204 1.542945
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g3
6 18.70 g3
3 14.64 g4
5 13.26 g4
Mean Grouping Range Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Range DMS
19.88667 17.26515 11.78867 24 6 4.372651 6.714167
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g2
6 18.70 g2
3 14.64 g3
5 13.26 g3
SNK Midrange Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid DMS
comp1 19.8867 17.2651 11.7887 24 6 1.0049 1.9862
comp2 19.8867 17.2651 11.7887 24 5 1.0555 2.0640
comp3 19.8867 17.2651 11.7887 24 4 1.1278 2.1750
comp4 19.8867 17.2651 11.7887 24 3 1.2422 2.3506
comp5 19.8867 17.2651 11.7887 24 2 1.4594 2.6841
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g1g2
4 19.92 g2
6 18.70 g2g3
3 14.64 g2g3
5 13.26 g3
Tukey Midrange Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid Ext.DMS Int.DMS
19.89 17.27 11.78867 24 6 1.004855 1.986204 1.542945
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g3
6 18.70 g3
3 14.64 g4
5 13.26 g4

• y como vetor de médias dos tratametos e o argumento trt como vetor dos tratamentos. Assim, deve-se informar na função MRtest que o argumento y é um vetor de médias, isto é, ismean = TRUE. Deve-se também informar o número de repetições, o valor do quadrado médio e o grau de liberdade do resíduo nos argumentos replication, mserror e dferror, respectivamente. Suponha que no exemplo 3.1, as informações sobre o experimento fossem apenas: a análise de variância, as médias e o número de repetições dos tratamentos, isto é:

Suponha que as informações sobre o experimento fossem apenas: a análise de variância, as médias e o número de repetições dos tratamentos, isto é:

anova(anava)

Analysis of Variance Table
Response: y
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
trt 5 847.05 169.409 14.37 1.485e-06 ***
Residuals 24 282.93 11.789

# Média dos tratamentos
mean.trt <- c(28.82, 23.98, 14.64, 19.92, 13.26, 18.70)
# Tratamentos
treat <- as.factor(1:6)
# Núm. de repetições
repet <- 5
# Grau de liberdade do resíduo (obtido da ANAVA)
dferror <- 24
# Quadrado médio do resíduo (obtido da ANAVA)
mserror <- 11.78867

Com essas informações a função MRtest também realizará os testes quando ismean = TRUE. Observe os resultados abaixo.

# Analise da funcao MRtest - usando as medias
MRtest(y = mean.trt,
trt = treat,
dferror,
mserror,
replication = repet,
ismean = TRUE)

MCP’s based on distributions of the studentized midrange
and range
Study: y ~ trt
Summary:
Means r
1 28.82 5
2 23.98 5
3 14.64 5
4 19.92 5
5 13.26 5
6 18.70 5
Mean Grouping Midrange Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid Ext.DMS Int.DMS
19.89 17.27 11.78867 24 6 1.004855 1.986204 1.542945
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g3
6 18.70 g3
3 14.64 g4
5 13.26 g4
Mean Grouping Range Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Range DMS
19.88667 17.26515 11.78867 24 6 4.372651 6.714167
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g2
6 18.70 g2
3 14.64 g3
5 13.26 g3
SNK Midrange Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid DMS
comp1 19.8867 17.2651 11.7887 24 6 1.0049 1.9862
comp2 19.8867 17.2651 11.7887 24 5 1.0555 2.0640
comp3 19.8867 17.2651 11.7887 24 4 1.1278 2.1750
comp4 19.8867 17.2651 11.7887 24 3 1.2422 2.3506
comp5 19.8867 17.2651 11.7887 24 2 1.4594 2.6841
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g1g2
4 19.92 g2
6 18.70 g2g3
3 14.64 g2g3
5 13.26 g3
Tukey Midrange Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid Ext.DMS Int.DMS
19.89 17.27 11.78867 24 6 1.004855 1.986204 1.542945
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g3
6 18.70 g3
3 14.64 g4
5 13.26 g4

Entretanto, o usuário pode não está interessado em realizar todos os testes. Dessa forma pode-se usar o argumento MCP para selecionar os testes desejados. Por exemplo,realizando os testes de MGM e de MGR, tem-se

MRtest(y = anava,
trt = "trt",
MCP = c("MGM", "MGR"))

MCP’s based on distributions of the studentized midrange
and range
Study: aov(y ~ trt) ~ "trt"
Summary:
Means std r Min Max
1 28.82 5.80 5 19.4 33.0
2 23.98 3.78 5 17.7 27.9
3 14.64 4.12 5 9.1 19.4
4 19.92 1.13 5 18.6 21.0
5 13.26 1.43 5 11.6 14.4
6 18.70 1.60 5 16.9 20.8
Mean Grouping Midrange Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid Ext.DMS Int.DMS
19.89 17.27 11.78867 24 6 1.004855 1.986204 1.542945
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g3
6 18.70 g3
3 14.64 g4
5 13.26 g4
Mean Grouping Range Test
Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Range DMS
19.88667 17.26515 11.78867 24 6 4.372651 6.714167
Groups:
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g2
6 18.70 g2
3 14.64 g3
5 13.26 g3

A seguir um exemplo para a função MRwrite u, após o nome do objeto, o símbolo $ de acordo com a imagem abaixo:

Caso deseje obter apenas os resultados do teste escolhido, basta usar:

teste.TM$Groups

$group.TMtest
Means Groups
1 28.82 g1
2 23.98 g2
4 19.92 g3
6 18.70 g3
3 14.64 g4
5 13.26 g4

Após ter criado um objeto para a função MRtest, as outras funções do pacote midrangeMCP, MRbarplot e MRwrite, ficam fáceis de serem utilizadas.

MRbarplot Function:

Função MRbarplot para o objeto teste.TM

MRbarplot(teste.TM, xlab = "Tratamentos",
ylab = "Nitrogênio")

Caso deseje as barras na vertical, basta alterar o argumento horiz na função MRbarplot.

MRbarplot(teste.TM, xlab = "Tratamentos",
ylab = "Nitrogênio", horiz = TRUE)

Para publicação de artigos algumas revistas cobram por figuras coloridas. Para plotar o gráfico dos resultados dos testes com o degradê nos tons de preto e cinza, basta alterar o argumento col na função MRbarplot.

MRbarplot(teste.TM, xlab = "Tratamentos",
ylab = "Nitrogênio", col = gray.colors(10))

Entretanto, se na função MRtest o usuário escolher mais de um teste (usando o argumento MCP), a função MRbarplot plotará o resultado de todos os testes escolhidos.Ver exemplo abaixo.

# Por "default" MCP = "all", isto é, todos os testes
# serão analisados
teste.all <- MRtest(y = anava, trt = "trt")
# Plotando o resultado dos testes
MRbarplot(teste.TM, xlab = "Tratamentos",
ylab = "Nitrogênio", horiz = TRUE)

MRwrite Function:

A última função apresentada do pacote midrangeMCP é MRwrite, tendo por objetivo exportar os principais resultados da análise dos testes. Por default essa função sempre exportará os resultados para um arquivo com a extensão “.csv”. Lembrando que os arquivos sempre serão exportados para o diretório de trabalho do R. Para a escolha do diretório no R, basta usar a função setwd. A seguir um exemplo para a função MRwrite usando o objeto teste.TM.

# (Sistema Operacional Linux - Ubuntu 12.04)
# Mudando o diretorio
setwd("~/Copy/Diretorio")
# Exportando os resultados de "teste.TM"
MRwrite(teste.TM)

De acordo com a imagem abaixo: o primeiro arquivo armazenou o resultado do teste de TM com a separação dos grupos. O segundo armazenou as estatísticas descritivas da variável resposta.

Caso não deseje exportar esses dois arquivos, basta usar o argumento dataMR. Por exemplo, se o usuário opta por simplesmente exportar o resultado da análise, basta usar:

# (Sistema Operacional Linux - Ubuntu 12.04)
# Mudando o diretorio
setwd("~/Copy/Diretorio")
# Exportando os resultados de "teste.TM"
MRwrite(teste.TM, dataMR = "groups")

As outras extensões possíveis são: “.txt” e “.xlsx”. Para detalhes, ver a subseção 3.3.4. Agora, para quem usa LATEX é possível exportar o código em formato de tabela desses resultados.

# (Sistema Operacional Linux - Ubuntu 12.04)
# Mudando o diretorio
setwd("~/Copy/Diretorio")
# Exportando os resultados de "teste.TM"
MRwrite(teste.TM, dataMR = "groups", extension = "latex")

% latex table generated in R 3.2.2
% by xtable 1.7-4 package
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{lrl}
\hline
trt & Means & Groups \\
\hline
1 & 28.82 & g1 \\
2 & 23.98 & g2 \\
4 & 19.92 & g3 \\
6 & 18.70 & g3 \\
3 & 14.64 & g4 \\
5 & 13.26 & g4 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
See yours tables in Console
Format: latex
Basta copiar o código e inserir em algum editor de texto do LATEX. O resultado fica
dessa forma:

trt | Means |Groups --- | ------|------ 1 | 28.82 |g1 2 | 23.98 |g2 4 | 19.92 |g3 6 | 18.70 |g3 3 | 14.64 |g4 5 | 13.26 |g4

Tests:

Tukey midrange test (TM test) :

Os passos para a aplicação dos teste são:

1. As médias dos tratamentos devem ser ordenadas: $\overline{Y}_{(1)}.,\overline{Y}_{(2)}.,..,\overline{Y}_{(n).};$


2. A diferença mínima significativa por: $$ \Delta_{n} = \overline{q}_{(\alpha/2;n;v)} \sqrt{ \dfrac {QME} {r}} + \dfrac {1 }{\sqrt{2n}} \sqrt{\dfrac {QME} {r}} $$


3. Calcula-se o valor da estatítica, determinando-se $k$ e $\overline{Y}$ como descrito anteriormente, por: $$\overline{r}_{n}= \dfrac {\overline{Y}_{(1)}+\overline{Y}_{(n)}} {2}-\overline{Y^*_.};$$


4. Se $\mid \overline{r}_n \mid \leq \Delta_n$, então as $n$ médias serão consideradas não diferentes. Caso contrário, vai para o passo 5, considerando $m = n$ médias;


5. Faça $m = m-1$;


6. Considerando os grupos de médias:$\overline{Y}_{(1)},\overline{Y}_{(2)},...,\overline{Y}_{(m)};\overline{Y}_{(2)},\overline{Y}_{(3)}...,\overline{Y}_{(m+1)};...;\overline{Y}_{(n-m+1)},\overline{Y}_{(n-m+2)},...,\overline{Y}_{(n)};$ o número de grupos é dado por $l=n-m+1$;


7. Para cada um do grupos com $m$ médias, é obtido $$\overline{r}_m= \dfrac {min \left\{ \overline{Y}_{(j)} \right\}+max \left\{ \overline{Y}_{(j)} \right\} }{2}- \overline{Y}^*_.,$$ em que $\overline{Y^*}$é obtida nos mesmos moldes, conforme descrito para o conjunto de todas as $n$ médias, sujeito apenas ao fato que se tem $m < n$ médias, nesse caso.


8. Para cada grupo obtido e marcado como divisível, considere $m$ o número de médias do grupo relacionado, devendo-se usar como diferença mínima significativa dada por: $$\Delta^*_n=\overline{q}_{(\alpha/2;n.v)} \sqrt{\dfrac{QME}{r}};$$


9. Se $\mid \overline{r}_m \mid \leq \Delta^*_n$, então as $m$ médias não diferem estatisticamente; caso contrário elas são diferentes nesse estágio;


10. Repete-se o processo para todos os $l$ grupos de $m$ médias, refazendo-se os passos 7, 8 e 9. Terminado a comparação de todos os $l$ grupos de $m$ médias, retorna-se ao passo 5, atualizando-se o valor de $m$. Isso deve ser repetido enquanto $m\geq 2$.

SNK midrange test (SNKM test) :

O algoritmo para o teste de SNKM é o mesmo utilizado para o teste de TM. O que diferencia é o passo 8, que segue:

8. O valor da diferença mínima significativa é dada por $$\Delta_m=\overline{q}_{(\alpha/2;m,v)} \sqrt{\dfrac{QME}{r}}. $$ Assim, $\Delta_m$ é alterado à medida que o número de médias $m$ se modifica nos $l =n−m+ 1$ grupos, modificando-se o argumento $n$ por $m$, que é um dos parâmetros da distribuição de $\overline{Q}$.

Mean grouping based on midrange (MGM test)

A sigla MGM, vem do inglês: “Mean Grouping based on the Midrange”. Da mesma forma como foi proposto para o teste de TM, usou-se o critério de formar uma partição de $m$ médias ordenadas na posição $k$, em que ocorre

$$max\left{\overline{Y}{(j+1)}- \overline{Y}{(j)} \right} = \overline{Y}{(k+1)} -\overline{Y}{k}$$ para $j = 1,2,...,m - 1$. Se houver empates com dois ou mais valores diferentes de $k$, digamos $k1, k2$, . . ., então forma-se a partição em que $k= max \left{ min(k_1,m-k_1),min(k_2,m-k_2) \right}$. Assim, definiu-se

$$\overline{Y}^*1 = \frac{\sum\limits{j=1}^{k}\overline{Y}_{(j)}}{k} $$ e

$$\overline{Y}^*2 = \frac{\sum\limits{j=k+1}^{m}\overline{Y}_{(j)}}{m-k} $$

Logo $\overline{Y}^_m = \overline{Y}^_1$ se $k \geq m -k$ ou $\overline{Y}^_m=\overline{Y}^_2$, caso contrário. Os passos para a aplicação do teste são:

1. Faça $m=n$ e tome as médias ordenadas dos tratamentos por: $\overline{Y}_{(1).},\overline{Y}_{(2).},. . ., \overline{Y}_{(m).};$
2. Determina-se $k$ e $\overline{Y}^*_{m}$ como discutido anteriormente;
3. Determina-se o valor da estatística por: $$\overline{r}_{m}= \dfrac {\overline{Y}_{(1)}+\overline{Y}_{(m)}} {2}-\overline{Y}^*_m;$$
4. A diferença mínima significativa é $$ \Delta_{m} = \overline{q}_{(\alpha/2;m;v)} \sqrt{ \dfrac {QME} {r}} + \dfrac {1 }{\sqrt{2m}} \sqrt{\dfrac {QME} {r}}; $$
5. Se $\mid \overline{r}_m \mid \leq \Delta_m$, então as $m$ médias são consideradas não diferentes e marca-se o grupo como não divisível e o processo se encerra. Caso contrário, considere que as médias do grupo $\overline{Y}_{(1).},\overline{Y}_{(2).},. . ., \overline{Y}_{(k).};$ como diferentes das médias do grupo $\overline{Y}_{(k+1).},\overline{Y}_{(k+2).},. . ., \overline{Y}_{(m).}$ e vá para o passo 6;
6. Para cada grupo obtido e marcado como divisível, considere $m$ o número de médias do grupo relacionado. Repita os passos de 2 a 5, com uma ressalva, no passo 4, deve-se usar como diferença mínima significativa: $$\Delta_m=\overline{q}_{(\alpha/2;m,v)} \sqrt{\dfrac{QME}{r}}. $$
Esse processo é realizado para todos os grupos até que nenhum outro grupo consiga ser dividido em dois novos ou até que todos os grupos contenham apenas 1 média.

Mean grouping based on range (MGR test)

A sigla MGR, vem do inglês: “Mean Grouping based on the Range”. Uma versão similar do teste de Scott-Knott (SCOTT; KNOTT, 1974), baseado na amplitude estudentizada também foi proposta. A essência do teste é a mesma da proposta apresentada para o teste de MGM. Para divisão dos grupos, usou-se como potencial ponto de partição a posição da máxima amplitude entre médias ordenadas. Assim, para $\overline{Y}{(1).},\overline{Y}{(2).},. . ., \overline{Y}_{(m).};$ a partição deve ser considerada na posição k onde se verifica:

$$max \left{\overline{Y}{(j+1).}+\overline{Y}{(j).} \right} = \overline{Y}{(k+1).}-\overline{Y}{k.} $$

para $j = 1, 2,..., m − 1$. Deve-se considerar para aplicação do teste o quantil superior $100\alpha \%, q_{\alpha;m,v}$, da amplitude estudentizada externamente.

Os passos para a aplicação do teste são:

1. Fazer $m=n$ e considerar $m$ médias ordenadas:: $\overline{Y}_{(1).},\overline{Y}_{(2).},. . ., \overline{Y}_{(m).};$
2. Determinar $k$ conforme discutido anteriormente;
3. Calcular a estatística do teste por: $$q_m = \overline{Y}_{(m).} - \overline{Y}_{(1).} $$
4. A diferença mínima significativa é: $$\Delta_m=\overline{q}_{(\alpha;m,v)} \sqrt{\dfrac{QME}{r}}; $$
5. Se $q_m \leq \Delta_m$,então as $m$ médias são consideradas não diferentes, marque o grupo como não divisível e vá para o passo 6. Caso contrário, considere as médias do grupo $\overline{Y}_{(1).},\overline{Y}_{(2).},. . ., \overline{Y}_{(k).}$ como diferentes das médias do grupo $\overline{Y}_{(k+1).},. . ., \overline{Y}_{(m).};$ e vá para o passo 6.
6. Para cada grupo obtido e marcado como divisível, considere $m$ o número de médias do grupo relacionado. Repita os passos de 2 a 5. Esse processo é realizado para todos os grupos até que nenhum outro grupo consiga ser dividido em dois novos ou até que todos os grupos contenham apenas 1 média.

Performance and evaluation of the tests

Application and interpretation of tests:

Teste de agrupamento de médias Midrange (MGM) - Solução analítica

Seguem os passos:

1. Inicialmente, ordena-se as médias dos tratamentos dados por: 3DOK13 | 3DOK4 |COMPOS |3DOK7 |3DOK5 |3DOK1 ------ | ------|------ |------ |------|------ 13,26 | 14,64 |18,70 |19,92 |23,98 |28,82
2. Inicialmente, ordena-se as médias dos tratamentos dados por: 3DOK13 | 3DOK4 |COMPOS |3DOK7 |3DOK5 |3DOK1 ------ | ------|------ |------ |------|------ 13,26 | 14,64 |18,70 |19,92 |23,98 |28,82
3. Após isso, calcula-se as diferenças entre médias consecutivas e verifica-se a que obteve maior diferença: $$\overline{Y}_{3DOK4}-\overline{Y}_{3DOK13} = 1,38 $$ $$\overline{Y}_{COMPOS}-\overline{Y}_{3DOK4 =} = 4,06 $$ $$\overline{Y}_{3DOK7}-\overline{Y}_{COMPOS} = 1,22 $$ $$\overline{Y}_{3DOK5}-\overline{Y}_{3DOK7} = 4,06 $$ $$\color{Red}{\overline{Y}_{3DOK1}-\overline{Y}_{3DOK5}= 4,84} $$
4. O passo anterior auxilou a identificar o ponto de corte de dois potenciais grupos de médias de populações com médias populacionais diferentes, isto é: $$ (VERIFICAR FORMULA) $$ Além do mais, o grupo com maior número de médias servirá para estimar a média populacional desconhecida, ou seja, $$\overline{Y}^*= \dfrac{13,26 + 14,64 + 18,70 + 19,92 + 23,98}{5}= 18,10; $$
5. Calculando a estatística $\overline{r}_6$, expressão(74): $$\overline{r}_6=\dfrac{13,26 + 28,82}{2} - 18,10 = 2,94; $$
6. Calculando $\Delta_6$ expressa em (76), tem-se $$\Delta_6= \overline{q}_{(0,05/2;6,24)}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$ $$= 1,004855\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$ $$=2,88;$$
7. Como $|\overline{r_6}|> |\Delta_6|$, então os dois grupos foram amostrados de populações com médias estatisticamente diferentes;
8. Assim, parte para a análise de cada grupo, lembrando que no grupo de maior média, como há apenas uma média, esta recebe a codificação de diferenciação dos grupos, isto é, Tratamento | Média |Resultado ------ | ------|------ 3DOK1 | 28,82 |g1 3DOK5 | 23,98 |análise 3DOK7 | 19,92 |análise COMPOS | 18,70 |análise 3DOK4 | 14,64 |análise 3DOK13 | 13,26 |análise
9. Repetindo os passos de 1 a 4, porém, usando apenas os elementos do Grupo 1, segue que 3DOK13 | 3DOK4 |COMPOS |3DOK7 |3DOK5 ------ | ------|------ |------ |------ 13,26 | 14,64 |18,70 |19,92 |23,98 $$\overline{Y}_{3DOK4}-\overline{Y}_{3DOK13} = 1,38 $$ $$\color{Red}{\overline{Y}_{COMP OS}-\overline{Y}_{3DOK4}= 4,06}$$ $$\overline{Y}_{3DOK7}-\overline{Y}_{COMP OS}= 1,22$$ $$\color{Red}{\overline{Y}_{3DOK5}-\overline{Y}_{3DOK7 }= 4,06}$$ Nesse caso houve um empate para k. Assim, poderá haver duas possibilidades para a separação de grupos: $$ (VERIFICAR FORMULA)$$ ou $$ (VERIFICAR FORMULA)$$ A escolha de $k$ será determinada por: $$k= max \left \{min (k_1,m-k_1),min(k_2,m-k_2) \right \}$$ $$= max \left \{min (2,3),min(4,1) \right \}$$ $$= 2.$$ Portanto, para k = 2 tem-se $$ (VERIFICAR FORMULA)$$ $$\overline{r}_5=\dfrac{13,26 + 23,98}{2} - 20,87 = −2,25; $$
10. Depois da quebra mais externa a $\Delta_6^*$ tem uma pequena alteração, em que é calculado da seguinte forma: $$\Delta_6^*= \overline{q}_{(0,05/2;6,24)}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$ $$= 1,004855\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$ $$= 1,542945. $$ De agora em diante, todos os cálculos de $\overline{r}$ serão comparados com $\Delta_6^*$ ;
11. Assim, como $|\overline{r_5}|> |\Delta_6^*|$ conclui-se que os grupos são estatisticamente diferentes. Por enquanto nenhuma letra foi considerada nessa segunda quebra, pois cada subgrupo ainda será avaliado;
12. A avaliação de cada subgrupo será reutilizando os passos 1, 2, 3, 4 e 9. Esse procedimento irá parar até que nenhum outro grupo seja dividido em dois novos grupos ou até quando os grupos contiverem apenas 1 média. Dessa forma, o resultado da análise fica: Tratamento | Média |Resultado ------ | ------|------ 3DOK1 | 28,82 |g1 3DOK5 | 23,98 |g2 3DOK7 | 19,92 |g3 COMPOS | 18,70 |g3 3DOK4 | 14,64 |g4 3DOK13 | 13,26 |g4

Teste de agrupamento de médias Range (MGR) - Solução analítica

Comparando com a análise do teste de MGM, os passos de 1 a 3 são os mesmos. Para os passos seguintes seguem:

4. Calcular a estatística q6, expressa em (79): $$q_6 = 28,82 − 13,26 = 15,56;$$
5. Calculando a diferença mínima significativa, expressão (80): $$\Delta_6=4.372651 \sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}= 6.714167; $$
6. Como $q_6 > \Delta_6$, então os dois grupos foram amostrados de populações com médias estatística diferentes;
7. Assim, parte para a análise de cada grupo, lembrando que no grupo de maior média, como há apenas uma média, esta recebe a primeira letra de diferenciação dos grupos, isto é, Tratamento | Média |Resultado ------ | ------|------ 3DOK1 | 28,82 |g1 3DOK5 | 23,98 |análise 3DOK7 | 19,92 |análise COMPOS | 18,70 |análise 3DOK4 | 14,64 |análise 3DOK13 | 13,26 |análise
8. Repetindo os passos de 1 a 3, porém, usando apenas os elementos do grupo 1, tem-se 3DOK13 | 3DOK4 |COMPOS |3DOK7 |3DOK5 ------ | ------|------ |------ |------ 13,26 | 14,64 |18,70 |19,92 |23,98 $$\overline{Y}_{3DOK4}-\overline{Y}_{3DOK13} = 1,38$$ $$\color{Red}{\overline{Y}_{COMP OS}-\overline{Y}_{3DOK4}= 4,06}$$ $$\overline{Y}_{3DOK7}-\overline{Y}_{COMP OS}= 1,22$$ $$\color{Red}{\overline{Y}_{3DOK5}-\overline{Y}_{3DOK7 }= 4,06}$$ Nesse caso houve um empate para $k$. Assim, poderá haver duas possibilidades para a separação de grupos: $$ (VERIFICAR FORMULA)$$ ou $$ (VERIFICAR FORMULA)$$ A escolha de k será determinada por: $$k= max \left \{min (k_1,m-k_1),min(k_2,m-k_2) \right \}$$ $$= max \left \{min (2,3),min(4,1) \right \}$$ $$= 2.$$ Portanto, para k = 2 tem-se $$ (VERIFICAR FORMULA)$$ $$q_5 = 23,98 − 13,26 = 10,72;$$
9. Como $q_5 > \Delta_6$ conclui-se que os grupos são estatisticamente diferentes. Por enquanto nenhuma letra foi considerada, pois cada subgrupo será avaliado;
10. A avaliação de cada subgrupo será refazer todos os passos novamente em cada subgrupo. Esse procedimento irá parar até que nenhum outro grupo seja dividido em dois novos grupos ou até quando os grupos contiverem apenas 1 média. Dessa forma, o resultado da análise fica: Tratamento | Média |Resultado ------ | ------|------ 3DOK1 | 28,82 |g1 3DOK5 | 23,98 |g2 3DOK7 | 19,92 |g2 COMPOS | 18,70 |g2 3DOK4 | 14,64 |g3 3DOK13 | 13,26 |g3

Teste de Student-Newman-Keuls Midrange (SNKM) - Solução analítica

Os passos para realizar o teste de SNKM é bem similar aos anteriores. O que irá diferenciar nos passos iniciais é que o maior “gap” servirá apenas para estimar a média populacional, isto é, calcular $\overline{Y}^*$ Algo interessante também é que a DMS desse teste é alterada à medida que o número de médias se modifica nos grupos avaliados. Assim, seguem os passos:

1. Inicialmente, ordena-se as médias dos tratamentos dados por:

   3DOK13 | 3DOK4 |COMPOS |3DOK7 |3DOK5 |3DOK1 ------ | ------|------ |------ |------|------ 13,26 | 14,64 |18,70 |19,92 |23,98 |28,82

2. Após isso, calcula-se as diferenças entre médias consecutivas e verifica-se a que obteve maior diferença:

   $$\overline{Y}{3DOK4}-\overline{Y}{3DOK13} = 1,38$$

   $$\overline{Y}{COMP OS}-\overline{Y}{3DOK4}= 4,06$$

   $$\overline{Y}{3DOK7}-\overline{Y}{COMP OS}= 1,22$$

   $$\overline{Y}{3DOK5}-\overline{Y}{3DOK7 }= 4,06$$

   $$\color{Red}{\overline{Y}{3DOK1 }-\overline{Y}{3DOK5 }= 4,84}$$

3. O passo anterior auxilou a identificar o ponto de corte de dois grupos de médias, isto é:

   $$ (VERIFICAR FORMULA)$$ O grupo com maior número de médias servirá para estimar a média populacional desconhecida, ou seja,

   $$\overline{Y}^*= \dfrac{13,26 + 14,64 + 18,70 + 19,92 + 23,98}{5}= 18,10; $$

4. Calculando a estatística $\overline{r}_6$, expressão (74): $$\overline{r}_6=\dfrac{13,26 + 28,82}{2} - 18,10 = 2,94; $$
5. Calculando $\Delta_6$ expressa em (76), tem-se $$\Delta_6= \overline{q}_{(0,05/2;6,24)}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$ $$= 1.0049\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$ $$= 1.9862 $$
6. Como $|r_6| > |\Delta_6|$, então os dois grupos foram amostrados de populações com médias estatisticamente diferentes. O próximo passo é saber quais as médias são estatisticamente diferentes;
7. Deve-se fazer os mesmos passos anteriores considerando o primeiro grupo de 5 médias. Assim, segue que:
   1. Inicialmente, ordena-se as cinco primeiras médias dos tratamentos dados por: 3DOK13 | 3DOK4 |COMPOS |3DOK7 |3DOK5 ------ | ------|------ |------ |------ 13,26 | 14,64 |18,70 |19,92 |23,98
   2. Após isso, calcula-se as diferenças entre médias consecutivas e verifica-se a que obteve maior diferença: $$\overline{Y}_{3DOK4}-\overline{Y}_{3DOK13} = 1,38$$ $$\color{Red}{\overline{Y}_{COMPOS }-\overline{Y}_{3DOK4 }= 4,06}$$ $$\overline{Y}_{3DOK7}-\overline{Y}_{COMP OS}= 1,22$$ $$\color{Red}{\overline{Y}_{3DOK5}-\overline{Y}_{3DOK7 }= 4,06}$$ Nesse caso houve um empate para k. Assim, poderá haver duas possibilidades para a separação de grupos: $$ (VERIFICAR FORMULA)$$ ou $$ (VERIFICAR FORMULA)$$ A escolha de $k$ será determinada por: $$k= max \left \{min (k_1,m-k_1),min(k_2,m-k_2) \right \}$$ $$= max \left \{min (2,3),min(4,1) \right \}$$ $$= 2.$$ Portanto, para $k$ = 2 tem-se $$ (VERIFICAR FORMULA)$$ $$\overline{r}_5=\dfrac{13,26 + 23,98}{2} - 20,87 = −2,25; $$
   3. Calculando $\overline{Y}^*$: $$\overline{Y}^*= \dfrac{18,70 + 19,92 + 23,98}{3}= 20,87; $$
   4. Calculando $\Delta_5^*$,expressão (78), $$\Delta_5^*= \overline{q}_{(0,05/2;5,24)}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$ $$= 1.0555\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}$$ $$= 2.0640 $$
   5. Calculando $\overline{r}_5$ $$\overline{r}_5=\dfrac{13,26 + 23,98}{2} - 20,87 = −2,25; $$
   6. $|\overline{r}_5|> |\Delta_5^*|$,conclui-se que as médias são estatisticamente diferentes. Por enquanto nenhuma letra foi considerada, pois cada subgrupo será avaliado;

8. Fazendo os mesmos passos anteriores considerando o segundo grupo de 5 médias, segue que:
   1. Inicialmente, ordena-se as cinco primeiras médias dos tratamentos dados por: 3DOK4 |COMPOS |3DOK7 |3DOK5 |3DOK1 ------|------ |------ |------|------ 14,64 |18,70 |19,92 |23,98 |28,82
   2. Após isso, calcula-se as diferenças entre médias consecutivas e verifica-se a que obteve maior diferença: $$\overline{Y}_{COMPOS }-\overline{Y}_{3DOK4 }= 4,06$$ $$\overline{Y}_{3DOK7}-\overline{Y}_{COMP OS}= 1,22$$ $$\overline{Y}_{3DOK5}-\overline{Y}_{3DOK7 }= 4,06$$ $$\color{Red}{\overline{Y}_{3DOK1}-\overline{Y}_{3DOK5 }= 4,84}$$ Para o cálculo de $\overline{Y}^*$ os grupos se subdividiram em : $$ (VERIFICAR FORMULA)$$
   3. Calculando $\overline{Y}^*$: $$\overline{Y}^*= \dfrac{14,64 + 18,70 + 19,92 + 23,98}{4}= 19,31; $$
   4. Calculando$\Delta_5^*$,expressão (78), $$\Delta_5^*= \overline{q}_{(0,05/2;5,24)}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$ $$= 1.0555\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}$$ $$= 2.0640 $$
   5. Calculando $\overline{r}_5$ $$\overline{r}_5=\dfrac{14,64 + 28,82}{2} − 19,31 = 2,42; $$
   6. $|\overline{r}_5| > |\Delta_5^*|$, conclui-se que as médias são estatisticamente diferentes. Por enquanto nenhuma letra foi considerada, pois cada subgrupo será avaliado;

9. Até agora nada pode-se afirmar sobre as médias. Assim, o procedimento segue avaliando o grupo de 4 médias, depois o grupo com 3 médias até duas a duas. O processo se encerra caso não haja diferença entre médias ou até a comparação duas a duas;
10. Dessa forma, o resultado da análise ficou da seguinte forma: Tratamento | Média |Resultado ------: | ------|------ 3DOK1 | 28,82 |g1 3DOK5 | 23,98 | g2 3DOK7 | 19,92 |g2 COMPOS | 18,70 |g2 g3 3DOK4 | 14,64 |g2 g3 3DOK13 | 13,26 |g3

Teste de Tukey Midrange (TM) - Solução analítica

O procedimento para realizar o teste de Tukey Midrange é similar ao do teste de SNKM. O que diferencia é que a DMS é fixa independente do número de médias envolvido. Seguem os passos para o teste de TM:

1. Inicialmente, ordena-se as médias dos tratamentos dados por:

   3DOK13 | 3DOK4 |COMPOS |3DOK7 |3DOK5 |3DOK1 ------ | ------|------ |------ |------|------ 13,26 | 14,64 |18,70 |19,92 |23,98 |28,82

2. Após isso, calcula-se as diferenças entre médias consecutivas e verifica-se a que obteve maior diferença:

   $$\overline{Y}{3DOK4}-\overline{Y}{3DOK13 }= 1,38$$

   $$\overline{Y}{COMPOS }-\overline{Y}{3DOK4 }= 4,06$$

   $$\overline{Y}{3DOK7}-\overline{Y}{COMP OS}= 1,22$$

   $$\overline{Y}{3DOK5}-\overline{Y}{3DOK7 }= 4,06$$

   $$\color{Red}{\overline{Y}{3DOK1}-\overline{Y}{3DOK5 }= 4,84}$$

3. O passo anterior auxiliou a identificar o ponto de corte de dois grupos de médias, isto é:

   $$ (VERIFICAR FORMULA)$$

   O grupo com maior número de médias servirá para estimar a média populacional desconhecida, ou seja,

   $$\overline{Y}^*= \dfrac{13,26 + 14,64 + 18,70 + 19,92 + 23,98}{5}= 18,10; $$

4. Calculando a estatística $\overline{r}_6$, expressão (74):

   $$\overline{r}_6=\dfrac{13,26 + 28,82}{2} − 18,10 = 2,94; $$

5. Calculando $\Delta_6$ expressa em (76), tem-se

   $$\Delta_6= \overline{q}_{(0,05/2;6,28)}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$

   $$= 1.004855\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$

   $$= 1,986204; $$

6. Como $|\overline{r}_6| > |\Delta_6|$, então os dois grupos foram amostrados de populações com médias estatisticamente diferentes. O próximo passo é saber quais as médias são estatisticamente diferentes;

7. Deve-se fazer os mesmos passos anteriores considerando o primeiro grupo de 5 médias. Assim, segue que:
   1. Inicialmente, ordena-se as cinco primeiras médias dos tratamentos dados por:

      3DOK13 | 3DOK4 |COMPOS |3DOK7 |3DOK5 ------ | ------|------ |------ |------ 13,26 | 14,64 |18,70 |19,92 |23,98

   2. Após isso, calcula-se as diferenças entre médias consecutivas e verifica-se a que obteve maior diferença:

      $$\overline{Y}{3DOK4}-\overline{Y}{3DOK13 }= 1,38$$

      $$\color{Red}{\overline{Y}{COMPOS }-\overline{Y}{3DOK4 }= 4,06}$$

      $$\overline{Y}{3DOK7}-\overline{Y}{COMP OS}= 1,22$$

      $$\color{Red}{\overline{Y}{3DOK5}-\overline{Y}{3DOK7 }= 4,06}$$

      Nesse caso houve um empate para k. Assim, poderá haver duas possibilidades para a separação de grupos:

      $$ (VERIFICAR FORMULA)$$

      ou

      $$ (VERIFICAR FORMULA)$$

      $$k= max \left {min (k_1,m-k_1),min(k_2,m-k_2) \right }$$

      $$= max \left {min (2,3),min(4,1) \right }$$

      $$= 2.$$

      Portanto, para k = 2 tem-se

      $$ (VERIFICAR FORMULA)$$

      $$\overline{r}_5=\dfrac{13,26 + 23,98}{2} − 20,87 = −2,25;; $$

   3. Calculando $\overline{Y}^*$:

      $$\overline{Y}^*= \dfrac{18,70 + 19,92 + 23,98}{3}= 20,87; $$

   4. Calculando $\Delta_5^*$,expressão (77),

      $$\Delta_5^*= \overline{q}_{(0,05/2;6,28)}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$

      $$= 1,004855\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}$$

      $$= 1,542945$$

   5. Calculando $\overline{r}_5$

      $$\overline{r}_5=\dfrac{13,26 + 23,98}{2} − 20,87 = −2,25; $$

   6. $|\overline{r}_5| > |\Delta_5^*|$,conclui-se que as médias são estatisticamente diferentes.

8. Deve-se fazer os mesmos passos anteriores considerando o segundo grupo de 5 médias. Assim, segue que:
   1. Inicialmente, ordena-se as cinco primeiras médias dos tratamentos dados por:

      3DOK4 |COMPOS |3DOK7 |3DOK5 |3DOK1 ------|------ |------ |------|------ 14,64 |18,70 |19,92 |23,98 |28,82

   2. $$\color{Red}{\overline{Y}{COMPOS }-\overline{Y}{3DOK4 }= 4,06}$$

      $$\overline{Y}{3DOK7}-\overline{Y}{COMP OS}= 1,22$$ $$\overline{Y}{3DOK5}-\overline{Y}{3DOK7}= 4,06$$

      $$\color{Red}{\overline{Y}{3DOK1}-\overline{Y}{3DOK5 }= 4,84}$$ Para o cálculo de $\overline{Y}^*$ os grupos se subdividiram em :

      $$ (VERIFICAR FORMULA)$$

   3. Calculando $\overline{Y}^*$

      $$\overline{Y}^*= \dfrac{14,64 + 18,70 + 19,92 + 23,98}{4}=19,31;;$$

   4. Calculando $\Delta_5^*$,expressão (77),

      $$\Delta_5^*= \overline{q}_{(0,05/2;6,28)}\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}} $$

      $$= 1,004855\sqrt{\dfrac{11,78867}{5}}$$

      $$= 1,542945$$

   5. Calculando $\overline{r}_5$

      $$\overline{r}_5=\dfrac{14,64 + 28,82}{2} − 19,31 = 2,42; $$

   6. $|\overline{r}_5| > |\Delta_5|$, conclui-se que as médias são estatisticamente diferentes;
9. Até agora nada pode-se afirmar sobre as médias. Assim, o procedimento segue avaliando o grupo de 4 médias, depois o grupo com 3 médias até duas a duas. O processo se encerra caso não haja diferença entre médias ou até a comparação duas a duas;
10. Dessa forma, o resultado da análise ficou da seguinte forma: Tratamento | Média |Resultado ------: | ------|------ 3DOK1 | 28,82 |g1 | 3DOK5 | 23,98 |g2 3DOK7 | 19,92 |g3 COMPOS | 18,70 |g3 3DOK4 | 14,64 |g4 3DOK13 | 13,26 |g4

Interpretation of tests:

Na Tabela 9 será apresentado os resultados dos testes propostos (TM e SNKM) comparando com os testes originais (teste de Tukey e de SNK).

Trat | Médias |TM |Tukey |SNKM |SNK |MGM |MGR |Scott-Knott ------| ------ |-- |------ |------|----|----|----|------ 1 | 28,82 |g1 |a |g1 |a |g1 |g1 |a 2 | 23,98 |g2 |ab |g1g2 |b |g2 |g2 |b 4 | 19,92 |g3 |bc |g2 |bc |g3 |g2 |c 6 | 18,70 |g3 |bc |g2g3 |bc |g3 |g2 |c 3 | 14,64 |g4 |c |g2g3 |cd |g4 |g3 |d 5 | 13,26 |g4 |c |g3 |d |g4 |g3 |d

O teste de TM apresentou uma maior separação de grupos, resultando assim, numa melhor interpretação prática para os tratamentos. Observe que o teste de TM,para esse exemplo, conseguiu separar os grupos de médias sem ambiguidade e igual aos resultados dos testes de MGM e de MGR. Algo que não ocorreu com o teste de Tukey original. O resultado do teste de SNKM diferiu do resultado do teste de SNK. Portanto, de modo prático os testes de TM, MGM e MGR conseguem informar que o efeito da bactéria 3DOK1 produziu um maior teor de nitrogênio que as demais.

Utilizando agora o Exemplo 3.2, será apresentado como proceder a realização dos testes, utilizando o pacote MidrangeMCP, uma entrada de dados diferente da feita no Exemplo 3.1. Os dados analisados pelo pacote serão as médias dos genótipos, com informações adicionais sobre o quadrado médio do resíduo do experimento e seu grau de liberdade, e o número de repetições das médias.

No R, os genótipos e suas respectivas médias do período de floração foram armazenadas no objeto dados, como observado abaixo

dados

genotipo flow
1 BR501 83.2543
2 BR505 79.9100
3 BR506 84.3286
4 BR507 85.1686
5 BR508 83.7000
6 BRS511 81.4200
7 CMSXS629 83.2671
8 CMSXS630 85.7471
9 CMSXS633 80.9100
10 CMSXS635 82.4800
11 CMSXS636 75.4286
12 CMSXS637 79.5886
13 CMSXS639 78.1500
14 CMSXS643 87.5143
15 CMSXS644 82.3543
16 CMSXS646 78.5914
17 CMSXS647 77.2871
18 CMSXS648 81.1243
19 BRS601 78.3300
20 SUGARGRAZE 75.4471
21 V82391 75.3614
22 V82392 72.5243
23 V82393 73.8300
24 XBSW80007 75.1486
25 XBSW80140 79.3500

Posteriormente, usou-se a função MRtest com o argumento $ismean = TRUE$ para informar que o argumento $y$ está recebendo as médias dos genótipos.

y <- dados$genotipo
trt <- dados$flow
MRtest(y, trt, dferror = 252, mserror = 6.3078,
replication = 21, alpha = 0.05,
MCP = c("MGM", "MGR"), ismean = TRUE)

Mean Grouping Midrange Test

Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Mid Ext.DMS Int.DMS
80.01 3.14 6.3078 252 25 0.72453 0.475 0.397

Groups:
Means Groups
CMSXS643 87.51 g1
CMSXS630 85.75 g2
BR507 85.17 g2
BR506 84.33 g3
BR508 83.70 g3
CMSXS629 83.27 g3
BR501 83.25 g3
CMSXS635 82.48 g3
CMSXS644 82.35 g3
BRS511 81.42 g4
CMSXS648 81.12 g4
CMSXS633 80.91 g4
BR505 79.91 g5
CMSXS637 79.59 g5
XBSW80140 79.35 g5
CMSXS646 78.59 g5
BRS601 78.33 g5
CMSXS639 78.15 g5
CMSXS647 77.29 g5
SUGARGRAZE 75.45 g6
CMSXS636 75.43 g6
V82391 75.36 g6
XBSW80007 75.15 g6
V82393 73.83 g7
V82392 72.52 g8

Mean Grouping Range Test

Statistics:
Exp.Mean CV MSerror Df n Stud.Range DMS
80.01 3.14 6.3078 252 25 5.231999 2.88

Groups:
Means Groups
CMSXS643 87.51 g1
CMSXS630 85.75 g2
BR507 85.17 g2
BR506 84.33 g3
BR508 83.70 g3
CMSXS629 83.27 g3
BR501 83.25 g3
CMSXS635 82.48 g3
CMSXS644 82.35 g3
BRS511 81.42 g4
CMSXS648 81.12 g4
CMSXS633 80.91 g4
BR505 79.91 g5
CMSXS637 79.59 g5
XBSW80140 79.35 g5
CMSXS646 78.59 g5
BRS601 78.33 g5
CMSXS639 78.15 g5
CMSXS647 77.29 g5
SUGARGRAZE 75.45 g6
CMSXS636 75.43 g6
V82391 75.36 g6
XBSW80007 75.15 g6
V82393 73.83 g7
V82392 72.52 g7

Tabela 10 Resultados dos testes de MGM, de MGR e de Scott-Knott avaliando os 25 genótipos de sorgo apresentado no Exemplo 3.2.

| Genótipo | Médias | Diferença entre médias | MGM | MGR | Scott-Knott | |----------|--------|:------------------------:|-----|-----|:-------------:| | CMSXS643 |87.51 | - | g1 | g1 | A | | CMSXS630 |85,75 | 1,77 | g2 | g2 | B | | BR507 |85,17 | 0,58 | g2 | g2 | B | | BR506 |84,33 | 0,84 | g3 | g3 | B | | BR508 |83,70 | 0,63 | g3 | g3 | C | | CMSXS629 |83,27 | 0,43 | g3 | g3 | C | | BR501 |83,25 | 0,01 | g3 | g3 | C | | CMSXS635 |82,48 | 0,77 | g3 | g3 | C | |CMSXS644 |82,35 | 0,13 | g3 | g3 | C | | BRS511 |81,42 | 0,93 | g4 | g4 | D | |CMSXS648 |81,12 | 0,30 | g4 | g4 | D | |CMSXS633 |80,91 | 0,21 | g4 | g4 | D | |BR505 |79,91 | 1,00 | g5 | g5 | E | | CMSXS637 | 79,59 | 0,32 | g5 | g5 | E | |XBSW80140 | 79,35 | 0,24 | g5 | g5 | E | |CMSXS646 |78,59 | 0,76 | g5 | g5 | E | |BRS601 |78,33 | 0,26 | g5 | g5 | E | |CMSXS639 |78,15 | 0,18 | g5 | g5 | E | |CMSXS647 | 77,29 | 0,86 | g5 | g5 | E | |SUGARGRAZE|75,45 | 1,84 | g6 | g6 | F | |CMSXS636 |75,43 | 0,02 | g6 | g6 | F | |V82391 |75,36 | 0,07 | g6 | g6 | F | |XBSW80007 |75,15 | 0,21 | g6 | g6 | F | |V82393 |73,83 | 1,32 | g7 | g7 | G | |V82392 |72,52 | 1,31 | g8 | g7 | G |

Na Tabela 10, os resultados dos testes são apresentados para a comparação. Nessa tabela também é enfatizado as diferenças consecutivas entre as médias ordenadas para auxílio na comparação dos resultados dos testes. Um outro aspecto é o destaque nas linhas em que um dos testes separou o grupo de médias.

Os resultados mostram que os testes propostos (MGM e MGR) apresentaram uma maior separação dos grupos de médias do que o teste de Scott-Knott de modo mais coerente. Os testes propostos apresentaram resultados bem semelhantes. As médias foram ordenadas para facilitar a discussão. Observe a diferença dos resultados dos testes nos primeiros grupos de médias. As médias dos genótipos BR507 e BR506 foram considerados estatisticamente iguais pelo teste de Scott-Knott, mas diferentes pelo teste de MGM e de MGR. Posteriormente, as médias dos genótipos BR506 e BR508 foram consideradas estatisticamente iguais pelos testes propostos, porém diferentes pelo teste de Scott-Knott. Ocorre uma incoerência no teste de Scott-Knott, muito comum na prática. Perceba a diferença $\overline{Y}{BR507}-\overline{Y}{BR506 }=0,84$. O valor de $0,84$ entre essas duas médias não foi o suficiente para o teste de Scott-Knott detectar que estas são amostradas de populações com médias diferentes. Entretanto, esse mesmo teste detectou que a diferença $\overline{Y}{BR507}-\overline{Y}{BR508 }=0,63$ era significativa, e portanto, o efeitos médio desses genótipos são diferentes. Isso se deve a filosofia como o teste de Scott-Knott foi desenvolvido. A separação de grupos ocorre pela razão de verossimilhança entre grupos. As diferenças entre médias limitantes de cada grupo podem muitas vezes ser menor do que as diferenças entre médias consecutivas dentro dos grupos.

Ao contrário do teste de Scott-Knott, os testes de MGM e de MGR são mais coerentes quanto a este aspecto. A diferença entre os genótipos BR506 e BR508 de 0,63 não foi suficiente para os testes propostos avaliarem esses dois genótipos como estatisticamente diferentes. Entretanto, para a diferença maior entre os genótipos BR507 e BR506 de 0,84 estes foram estatisticamente diferentes.

Entretanto, em uma situação o teste de MGR também não se livrou desse aspecto. Verificando a diferença entre os genótipos V82393 e V82392 que foi de 1,31, o teste de MGR não detectou diferença entre essas médias, como também não foi verificado pelo teste de Scott-Knott. Esse questionamento se deve ao fato da diferença entre os genótipos BR507 e BR506 de 0,84 ter sido detectado como uma diferença significativa pelo teste de MGR. Já para o teste de MGM isso não ocorre, a diferença para os genótipos V82393 e V82392 de 1,31 foi detectado como genótipos estatisticamente diferentes. Apenas em uma situação nenhum dos testes detectou significância numa diferença de 0,86 (diferença entre os genótipos CMSXS639 e CMSXS642). A menor diferença significativa detectada para os testes de MGM e de MGR foi de 0,84, e para o teste de Scott-Knott foi de 0,63. Assim, todos os testes acima desses valores deveriam também detectar diferença. Vale lembrar que para os testes propostos, os valores 0,84 e 0,86 estão bem próximos, sendo um limiar para esses testes detectarem a significância na diferença entre as médias. Em todas as outras situações em que o teste de Scott-Knott diferenciou os grupos de médias os testes de MGM e de MGR conseguiram também detectar. Levando em consideração que o teste de MGM refinou ainda mais a separação de grupos. A maior separação de modo mais coerente ocorre nos testes de MGM e de MGR devido o desenvolvimento de como os testes foram propostos. A separação dos grupos desses testes leva em consideração a maior diferença consecutiva entre médias, e isso foi determinante para que não houvesse a incoerência que muitas vezes ocorre no teste de Scott-Knott.

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