In charlotte-ngs/ZLHS2016:

knitr::opts_chunk$set(echo = FALSE, results = 'asis')

r6obj_docstat <- rmddochelper::R6ClassDocuStatus$new()
r6obj_docstat$set_current_status(psVersion = "0.0.901",
                                 psStatus  = "Initialisation",
                                 psProject = "[REPLACE_WITH_PROJECT]")
r6obj_docstat$include_doc_stat(psTitle = "## Document Status")

r6ob_abbrtable <- rmddochelper::R6ClassTableAbbrev$new()
### # include table of abbreviations only, if there are any
if (!r6ob_abbrtable$is_empty_abbr())
  r6ob_abbrtable$include_abbr_table(psAbbrTitle = "## Abbreviations")

Aufgabe 1: Zuchtwert und Bestimmtheitsmass

y <- 320
mu <- 250
h2 <- 0.45

Rind Elsa hat ein Absetzgewicht von $r y$ kg. Das Populationsmittel liegt bei $r mu$ kg. Die Heritabilität ($h^2$) für das Merkmal Absetzgewicht ist $r h2$.

a) Wie gross ist der Zuchtwert von Elsa für das Merkmal Absetzgewicht? b) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmass für den geschätzten Zuchtwert.

hat_a_el <- h2*(y-mu)

Aufgabe 2: Zuchtwert aufgrund wiederholter Beobachtungen

geb_gew <- 52
mu2 <- 170
rep <- 0.65

Neben dem Absetzgewicht wurde für Rind Elsa auch das Geburtsgewicht ($r geb_gew$ kg) und weitere Gewichtsmessungen vorgenommen. Wir nehmen an, die Heritabilität ($h^2 = r h2$) sei gleich wie unter Aufgabe 1 und das Populationsmittel für die wiederholten Gewichtsmessungen liege bei $r mu2$ kg. Die Wiederholbarkeit der Gewichtsmessungen liege bei $t = r rep$.

Die Liste der erhobenen Gewichte sieht wie folgt aus.

nr_measure <- 10
wean_weight <- y
slope <- (wean_weight-geb_gew)/(nr_measure-1)
measure <- c(1:nr_measure)
weight <- round(slope*(measure-1) + geb_gew, digits = 0)
mean_weight <- mean(weight)
dfWeightTable <- data.frame(Messung = measure, Gewicht = weight)
knitr::kable(dfWeightTable)

a) Schätzen Sie den Zuchtwert für Elsa aufgrund der wiederholten Gewichtsmessungen b) Wie gross ist das Bestimmtheitsmass? c) Vergleichen Sie das unter b) berechnete Bestimmtheitsmass mit dem Bestimmtheitsmass aus Aufgabe 1.

hat_a_rep_meas <- round((nr_measure * h2)/(1+(nr_measure - 1)*rep)*(mean_weight - mu2), digits = 2)

Aufgabe 3: Zuchtwert und Vertrauensintervall

In der Vorlesung hatten wir das Bestimmtheitsmass als Genauigkeitsangabe für den geschätzten Zuchtwert kennen gelernt. Das Bestimmtheitsmass ist das Quadrat der Korrelation zwischen dem wahren Zuchtwert und dem Selektionskriterium. Das Bestimmtheitsmass macht also eine Aussage, wie gut das Selektionskriterium (in unseren Beispielen die jeweiligen phänotypischen Beobachtungen) geeignet ist den unbekannten Zuchtwert zu schätzen.

Alternativ zum Bestimmtheitsmass, ist die Standardabweichung $\sqrt{var(\hat{a})}$ des geschätzten Zuchtwerts eine Information zur Schätzgenauigkeit. Mit dieser Standardabweichung des geschätzten Zuchtwertes können Vertrauensintervalle berechnet werden. Diese geben an, mit wieviel Unsicherheit der geschätzte Zuchtwert behaftet ist. Ein enges Vertrauensintervall bedeutet, dass der geschätzte Zuchtwert eine tiefe Unsicherheit aufweist. Die Vertrauensintervalle sind immer mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit assoziiert. Ein gängiger Wert für die Irrtumswahrscheinlichkeit ist $\alpha = 0.05$. Die führt dann zum $95\%$-Vertrauensintervall.

Für einen geschätzten Zuchtwert $\hat{a}$ lässt sich das $95\%$-Vertrauensintervall mit der folgenden Prozedur berechnen. Bis anhin haben wir Zuchtwerte aufgrund einer angenommenen Regression der wahren Zuchtwerte auf phänotypische Beobachtungen geschätzt. Die phänotypischen Beobachtungen sind mit einer gewissen Unsicherheit behaftet und werden als Zuvallsvariable mit einer gewissen Häufigkeitsverteilung betrachtet. Da der geschätzte Zuchtwert $\hat{a}$ eine Funktion der Daten ($y$) ist, ist auch $\hat{a}$ eine Zufallsvariable mit einer zugehörigen Häufigkeitsverteilung. Wir nehmen an, dass die Häufigkeitsverteilung der phänotypischen Beobachtungen ($y$) und der geschätzten Zuchtwerte $\hat{a}$ eine Normalverteilung ist. Für die geschätzten Zuchtwerte liegt der Erwartungswert beim entsprechenden Schätzwert $\hat{a}$ und die Varianz ($var(\hat{a})$) kann berechnet werden aufgrund der Schätzgleichung für $a$.

phen_sd <- 20

Beim Beispiel aus Aufgabe 1, wo der Zuchtwert aufrund einer Eigenleistung berechnet wurde, sieht die Berechnung der Standardabweichung $\sqrt{var(\hat{a})}$ des geschätzten Zuchtwertes, wie folgt aus. An dieser Stelle nehmen wir an, dass die phänotypische Standardabweichung für das Absetzgewicht und das Gewicht r phen_sd kg betrage.

hat_a_el_sd <- h2*phen_sd

\begin{equation} \sqrt{var(\hat{a})} = \sqrt{var(b(y-\mu))} = b \sqrt{var(y)} = h^2 \sqrt{var(y)} = r h2 * r phen_sd = r hat_a_el_sd\nonumber \label{eq:VarHatA} \end{equation}

Aufgrund der Eigenschaften der Normalverteilung liegen 95% der Wahrscheinlichkeitsmasse $\pm 1.96$ Standardabweichungen um den Erwartungswert. Somit sind die untere ($ug$) und die obere ($og$) Grenze des $95\%$-Vertrauensintervalls definiert als

conv_int_hat_a_el_ug <- hat_a_el - 1.96 * hat_a_el_sd
conv_int_hat_a_el_og <- hat_a_el + 1.96 * hat_a_el_sd

$$ug = \hat{a} - 1.96 * \sqrt{var(\hat{a})} = r hat_a_el\ \text{kg} - 1.96 * r hat_a_el_sd\ \text{kg} = r conv_int_hat_a_el_ug\ \text{kg}$$

$$og = \hat{a} + 1.96 * \sqrt{var(\hat{a})} = r hat_a_el\ \text{kg} + 1.96 * r hat_a_el_sd\ \text{kg} = r conv_int_hat_a_el_og\ \text{kg}$$

Dies bedeutet, dass wenn wir sehr viele (theoretisch unendlich viele) Tiere mit gleichem wahren Zuchtwert haben und deren phänotypische Leistung beobachten und aufgrund dieser Leistungen jeweilen den entsprechenden Zuchtwert schätzen, dann liegen $95\%$ dieser geschätzten Zuchtwerte innerhalb des Vertrauensintervalls zwischen $r conv_int_hat_a_el_ug\ \text{kg}$ und $r conv_int_hat_a_el_og\ \text{kg}$.