In kvasilopoulos/psvar: What the Package Does (One Line, Title Case)

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Methodology

Let $Y_t$ be an n×1 vector of observables. We assume that the dynamics of the observables are described by a system of linear simultaneous equations

$$ A Y _ { t } = \sum _ { j = 1 } ^ { p } \alpha _ { j } Y _ { t - j } + \varepsilon _ { t } $$

$$ Y _ { t } = \sum _ { j = 1 } ^ { p } \delta _ { j } Y _ { t - j } + B \varepsilon _ { t } $$

$$ u_t = B \epsilon_t $$

$$ E ( u _ { t } u _ { t } ^ { \prime } ) = B B ^ { \prime } = \Sigma _ { u } $$

$$ \left[ \begin{array} { c } { u _ { 1 , t } } \ { ( k \times 1 ) } \ { u _ { 2 , t } } \ { ( N - k \times 1 ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { \beta_{ 11 } } & { \beta_{ 12 } } \ { ( k \times k ) } & { ( k \times N - k ) } \ { \beta _ { 21 } } & { \beta _ { 22 } } \ { ( N - k \times k ) } & { ( N - k \times N - k ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} { \epsilon _ { 1 , t } } \ { ( k \times 1 ) } \ { \epsilon _ { 2 , t } } \ { ( N - k \times 1 ) } \end{array} \right] $$

Consider the following partitioning of B:

$$ B = \left[ \begin{array} { c c } { \beta _ { 1 } } & { \beta _ { 2 } } \ { n \times k } & { n \times ( n - k ) } \end{array} \right], \quad \beta _ { 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { \beta _ { 11 } ^ { \prime } } & { \beta _ { 21 } ^ { \prime } } \ { k \times k } & { k \times ( n - k ) } \end{array} \right] ^ { \prime } , \quad \beta _ { 2 } = \left[ \begin{array} { c c } { \beta _ { 12 } ^ { \prime } } & { \beta _ { 22 } ^ { \prime } } \ { ( n - k ) \times k } & { ( n - k ) \times ( n - k ) } \end{array} \right] ^ { \prime } $$

$$ \beta _ { 21 } = ( \Sigma _ { mu _ { 1 } } ^ { - 1 } \Sigma _ { mu _ { 2 } ^ { \prime } } ) ^ { \prime } \beta _ { 11 } $$

$$ \left. \begin{array} { l } { \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } = ( \Sigma _ { mu 1 } ^ { - 1 } \Sigma _ { mu _ { 2 } ^ { \prime } } ) ^ { \prime } } \ { \beta _ { 12 } \beta _ { 22 } ^ { - 1 } = ( \beta _ { 12 } \beta _ { 12 } ^ { \prime } ( \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } ) ^ { \prime } + ( \Sigma _ { 21 } - \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } \Sigma _ { 11 } ) ^ { \prime } ) ( \beta _ { 22 } \beta _ { 22 } ^ { \prime - 1 } ) }\ { \beta _ { 12 } \beta _ { 12 } ^ { \prime } = ( \Sigma _ { 21 } - \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } \Sigma _ { 11 } ) ^ { \prime } Z ^ { - 1 } ( \Sigma _ { 21 } - \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } \Sigma _ { 11 } ) } \ { \beta _ { 22 } \beta _ { 22 } ^ { \prime } = \Sigma _ { 22 } + \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } ( \beta _ { 12 } \beta _ { 12 } ^ { \prime } - \Sigma _ { 11 } ) ( \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } ) ^ { \prime } } \ { \beta _ { 11 } \beta _ { 11 } ^ { \prime } = \Sigma _ { 11 } - \beta _ { 12 } \beta _ { 12 } ^ { \prime } } \end{array} \right. $$

$$ Z = \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } \Sigma _ { 11 } ( \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } ) ^ { \prime } - ( \Sigma _ { 21 } ( \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } ) ^ { \prime } + \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } \Sigma _ { 21 } ^ { \prime } ) + \Sigma _ { 22 } $$

$$ \left. \begin{array}{l}{ \beta _ { 11 } S _ { 1 } ^ { - 1 } = ( I - \beta _ { 12 } \beta _ { 22 } ^ { - 1 } \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } }\{ \beta _ { 21 } S _ { 1 } ^ { - 1 } = \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } ( I - \beta _ { 12 } \beta _ { 22 } ^ { - 1 } \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } }\{ S _ { 1 } S _ { 1 } ^ { \prime } = ( I - \beta _ { 12 } \beta _ { 22 } ^ { - 1 } \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } ) \beta _ { 11 } \beta _ { 11 } ^ { \prime } ( I - \beta _ { 12 } \beta _ { 22 } ^ { - 1 } \beta _ { 21 } \beta _ { 11 } ^ { - 1 } ) }\end{array} \right. $$

kvasilopoulos/psvar documentation built on Oct. 31, 2024, 8:33 p.m.