In mahendra-mariadassou/learningr: Introduction to R for FdV bachelor students

library(learnr)
library(dplyr)
library(ggplot2)
knitr::opts_chunk$set(echo = FALSE)
## Variables shared by all exercices
set.seed(1)
concentrations <- c(0.02, 0.02, 0.06, 0.06, 0.11, 0.11, 0.22, 0.22, 0.56, 0.56, 
1.1, 1.1)
micmem <- function(conc, Vm = 203, K = 0.055) {
  Vm * conc / (K + conc)
}
micmem_data <- tibble(
  conc  = concentrations,
  veloc = micmem(conc)
)
micmem_data_exp <- tibble(
  conc  = concentrations,
  veloc = micmem(conc) + rnorm(n = length(concentrations), sd = 8)
)
erreur_quadratique <- function(conc, veloc, Vm, K) {
  veloc_theo <- micmem(conc, Vm, K)
  sum( (veloc - veloc_theo)^2 )
}
plot_micmem <- function(Vm, K, arrows = FALSE, data = micmem_data) {
  p <- ggplot(data = data, aes(x = conc)) +
    geom_point(aes(y = veloc))  + 
    stat_function(fun= ~ micmem(.x, Vm = Vm, K = K), color = "red") + 
    # geom_line(aes(y = veloc_theo), color = 'red') + 
    labs(title    = glue::glue("Courbe de Michaelis-Menten pour Vm = {Vm} et K = {K}"), 
         subtitle = "Courbe théorique en rouge, données observées en noir")
  if (arrows) {
    p <- p + geom_segment(aes(xend = conc, y = micmem(conc, Vm, K), yend = veloc), 
                          arrow = arrow(length = unit(0.2, "cm")), 
                          linetype = "dashed")
  }
  p
}
plot_contour <- function(Vm_range = c(0, 300), K_range = c(0, 0.1), data = micmem_data) {
    f <- Vectorize(function(K,Vm) {erreur_quadratique(data$conc, data$veloc, Vm = Vm, K = K)})
  K <- seq(K_range[1], K_range[2], length.out = 101)
  Vm <- seq(Vm_range[1], Vm_range[2], length.out = 101)
  z <- outer(K, Vm,
             FUN = function(x, y) { f(K = x, Vm = y) |> log10()}
  )
  par(mar = c(4, 4, 2.5, 1))
  image(K, Vm, z,
        xlab = expression(K[M]),
        ylab = expression(v[max]),
        main = "Erreur quadratique (échelle logarithmique)")
  contour(K, Vm, z, add = TRUE)
}

Équation de Michaelis-Menten

L'ensemble des informations de ce tutoriel est extrait de l'article wikipédia français sur le sujet.

L’équation de Michaelis-Menten (ou de Michaelis-Menten-Henri) permet de décrire la cinétique d'une réaction catalysée par une enzyme agissant sur un substrat unique pour donner irréversiblement un produit. Elle relie la vitesse stationnaire initiale de la réaction à la concentration initiale en substrat et à des paramètres caractéristiques de l'enzyme.

Selon le modèle de Michaelis et Menten, l'équation décrivant la vitesse initiale stationnaire d'une réaction enzymatique est la suivante :

$$ {\displaystyle v_i ={\frac {\mathrm {d} [{\text {P}}]}{\mathrm {d} t}}=v_{\max }{\frac {[{\text {S}}]}{K_{\mathrm {M} }+[{\text {S}}]}}} $$

où

• $[S]$ est la concentration du substrat
• $v_i$ est la vitesse initiale de la réaction en l'absence du produit
• $v_{\max}$ est la vitesse initiale maximale
• $K_M$ est la constante de Michaelis de l'enzyme: la valeur de $[S]_0$ pour laquelle la vitesse initiale est la moitié de la vitesse maximale (obtenu à saturation du produit).

Détermination des constantes (cas idéal)

Un des objectifs de nombreuses expériences est d'estimer les constantes $K_M$ et $V_{\max}$. On va proposer plusieurs méthodes pour le faire.

Méthode graphique

On mesure la vitesse initiale (veloc) et les concentrations initiales (conc) dans différentes expériences.

micmem_data

Tracer le graphique de $v_i$ en fonction de $[S]$ et proposer une méthode graphique pour déterminer $K_M$ et $V_{\max}$.

ggplot(micmem_data, aes(x = conc, y = veloc)) + 
  geom_point() + 
  geom_line() + 
  ylim(c(0, NA))

Méthode linéaire (Eadie-Hofstee)

On peut transformer la relation entre $v_\max$ et $v_i$ pour l'écrire de la façon suivante:

$$ v_i = v_\max - K_M \times \frac{v_i}{[S]} $$

avant de faire une régression linéaire entre $y = v_i$ et $x = \frac{v_i}{[S]}$. Montrer que la relation est bien linéaire.

ggplot(micmem_data, aes(x = veloc / conc, y = veloc)) + 
  geom_point() + 
  geom_line() + 
  ylim(c(0, NA))

Il nous reste à trouver les "bons" coefficients de régression et les identifier à nos paramètres d'intérêt. On peut utiliser pour ce faire une régression linéaire:

reg_lineaire <- lm(veloc ~ I(veloc / conc), data = micmem_data)
summary(reg_lineaire)

Méthode non-linéaire (I)

On peut enfin par essais et erreurs trouver les valeurs de $v_{\max}$ et $K_M$ qui s'ajustent le mieux aux données, en calculant l'erreur entre les données théoriques et les données observées:

erreur_quadratique <- function(conc, veloc, Vm, K) {
  veloc_theo <- micmem(conc, Vm, K)
  sum( (veloc - veloc_theo)^2 )
}

Par exemple si on suppose que $v_\max = 190$ et $K_M = 0.04$, on obtient la courbe théorique suivante en rouge, qui ne se juxtapose pas avec nos points:

plot_micmem(Vm = 190, K = 0.04, arrows = TRUE)

L'erreur quadratique entre les vraies valeurs (points noirs) et les valeurs théoriques sous les paramètres $v_\max = 190$ et $K_M = 0.04$ est

erreur_quadratique(micmem_data$conc, micmem_data$veloc, Vm = 190, K = .04)

On peut essayer de minimiser cette erreur en testant une grille de valeurs de $v_{\max}$ et $K_M$:

plot_contour(Vm_range = c(0, 400), K_range = c(0.01, 0.1))

A l'aide de plot_contour() et erreur_quadratique(), déterminer les valeurs optimales de $v_\max$ et $K_M$

plot_contour(Vm_range = c(180, 220), K_range = c(0.045, 0.065))

Méthode non-linéaire (II)

On peut aussi adopter une stratégie de recherche exhaustive avec la fonction optim()

optim_function <- function(par, data) {
  Vm = par[1]
  K  = par[2]
  erreur_quadratique(data$conc, data$veloc, Vm = Vm, K = K)
}
optim(fn = optim_function, par = c(190, 0.04), data = micmem_data)

qui renvoie $V_m = 203$ et $K = 0.055$. On peut vérifier que ces valeurs donnent un bon ajustement:

plot_micmem(Vm = 203, K = 0.055)

Détermination des constantes (cas réel)

En général, les données sont plus bruitées que dans mon exemple précédent et les vitesses initiales mesurées sur différents réplicats ne sont pas identiques:

micmem_data_exp

Méthode graphique

• Représenter les données
• Qu'est ce qui change par rapport au cas non bruité ?

Méthode linéaire (Eadie-Hofstee)

• Utiliser la méthode linéaire pour estimer les paramètres
• Qu'est ce qui change par rapport au cas non bruité ?

Méthode non-linéaire

• Utiliser la méthode non-linéaire pour estimer les paramètres
• Qu'est ce qui change par rapport au cas non bruité ?

Comparaison

• Comparer les résultats des différentes méthodes entre elles
• Qu'est ce qui change par rapport au cas non bruité ?

Pour aller plus loin

On peut faire des régressions non linéaires pour essayer d'estimer les paramètres et avoir une idée de l'incertitude d'estimation.

reg_non_lineaire <- nls(veloc ~ SSmicmen(conc, Vm, K), data = micmem_data_exp)
summary(reg_non_lineaire)

mahendra-mariadassou/learningr documentation built on March 26, 2023, 2:26 p.m.