In mpascucci/morexams: A wrapper for Rexams

library(lammexams)
n <- sample(85:115, 1)# nombre de morceaux de rails
mu <- 1 # espérance de la longueur du morceau
stdinv <- sample(100:200, 1) # inverse de l'écart type 
L <- n*mu + round((1/stdinv)*runif(1,1,3), digits=3) # longueur attendue plus quelques écarts type

gen_sol <- function (L,n,mu,stdinv) {
  1 - pnorm( (L-n*mu)/( (1/stdinv)*sqrt(n) ), 0, 1)
}

# verification que la fonction gen_sol est bien écrite

# les paramètres de cette fonction doiven être rempli manuellement, solultion comprise
check_solution(gen_sol, # la fonction qui génère la solution en fonction des paraètres
  list(L=100.15,n=100,mu=1,stdinv=170), # une liste de paramètre pour l'exo
  0.0054 # la solution correspondante pour cette liste de paramètres
)


sol <- gen_sol(L,n,mu,stdinv)   
err <- c(1)

delta = 0.1
sc <- num_to_schoice(sol, range=c(-delta,1+delta), delta=delta, method="runif", digits=2)
sc

Question

Un constructeur pose des rails bout à bout. Chacun de ces rails doit mesurer théoriquement r mu m. En réalité, leurs longueurs sont des variables aléatoires de mêmes lois d'espérance $\mu=r mu$m et d'écart-type $\sigma=1/ r stdinv$m et sont indépendantes les unes des autres. On pose $r n$ rails. Calculer une approximation de la probabilité que la longueur effective de la voie dépasse r L mètres en utilisant $\Phi$ la fonction de répartition de la loi gaussienne centrée réduite.

answerlist(sc$questions, markup = "markdown")

Solution

Notons $$ S_n=\sum_{i=1}^nX_i $$ alors:

$$ \mathbb{P}(S_n>r L)= \mathbb{P}\left(\frac{S_n - r n*mu}{ (1/r stdinv)\sqrt{r n}}>\frac{r L -n*mu}{ (1/r stdinv)\sqrt{r n}}\right)\approx 1-\Phi\left(\frac{r L -n*mu}{ (1/r stdinv)*\sqrt{r n`}}\right) $$ où $\Phi$ est la fonction de répartition de la gaussienne centrée réduite.