In mpascucci/morexams: A wrapper for Rexams

p <- round(runif(1,0.01,0.2), digits=2) # probibilité qu'un individu ne se presente pas
n <- round(500*(1+p), digits=0) # overbooking

den <- round( n*p*(1-p), digits = 1)

Question

Une compagnie aérienne fournit des réservations sur le vol d'un appareil de 500 places. La probabilité qu'un passager ayant effectué la réservation pour ce vol ne se présente pas à l'embarquement est de $r p$ et les comportements des différents passagers sont supposés être indépendants. Si la compagnie aérienne accorde $r n$ réservations sur ce vol, calculer une approximation de la probabilité pour que certains passagers se retrouvent sans place.

Answerlist

$\Phi\left( \frac{r n-500-n*p}{\sqrt{r den}}\right)$
$1-\Phi\left( \frac{r -(n-500-n*p)}{\sqrt{r den}}\right)$
$2\Phi\left( \frac{r n-500-n*p}{\sqrt{r den}}\right)$
$\Phi\left( \left\vert \frac{r n-500-n*p}{\sqrt{r den}}\right\vert \right)$
$\Phi\left( \frac{r 500-n*p-n}{\sqrt{r den}}\right)$

Solution

Notons $ X_i=1 $ si le passager i ne se présente pas. $$ S_n=\sum_{i=1}^n X_i $$,

$$ \mathbb{P} (S_n< n-500) = \mathbb{P} \left( \frac{S_n-r n*p}{\sqrt{r den}} < \frac{r n-500-n*p}{\sqrt{r den}} \right) \approx \Phi\left( \frac{r n-500-n*p}{\sqrt{r den}}\right) $$, où $\Phi$ est la fonction de répartition de la gaussienne centrée réduite. La bonne solution est $$ \Phi\left( \frac{r n-500-n*p}{\sqrt{r den}}\right) $$.