In mpascucci/morexams: A wrapper for Rexams

Question

On note $X$ la durée de survie en mn d'une colonie de bactéries $B$ en milieu acide (temps au bout duquel on ne peut plus déceler aucune bactérie dansla boîte de culture) et on considère que $X$ est une variable aléatoire qui admet la densité suivante: $$ f_{\theta}(x) = \left { \begin{array}{ll} axe^{-x^2/\theta} & \textrm{ si } x \geq 0 \ \ 0 & \textrm{ sinon} \end{array}
\right. $$ où $\theta>0$ est un paramètre inconnu.

1. Calculer la valeur de $a$ (en fonction de $\theta$) pour que $f$ soit bien une densité de probabilité (pour l'intégration, on pourra faire un changement de variable en posant $u=x^2$).

On admet qu'en prenant cette valeur pour $a$, $$ E(X)=\sqrt{\pi\theta}/2,\quad E(X^2)=\theta \quad\mbox{et}\quad V(X^2)=\theta^2 $$ Les résultats observés sur $n=50$ boites de culture sont les suivants : $$ \sum_{i=1}^{n}{x_i}=2870 \quad \sum_{i=1}^{n}{x_i^2}=179412 $$ On suppose que $x_1,...,x_n$ sont les réalisations d'un $n$-échantillon $X_1,...,X_n$ de même loi que $X$. Soit $$ \hat{\theta}n=\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}{X_i^2} $$

1. Calculer $\mathbb{E}[\hat{\theta}_n]$.

2. Montrer que $\mathbb{E}[( \hat{\theta}_n-\theta)^2]=\mbox{Var}(\hat{\theta}_n)$.

3. En déduire l'expression de $\mathbb{E}[( \hat{\theta}_n-\theta)^2]$.

4. Vers quoi converge $\mathbb{E}[( \hat{\theta}_n-\theta)^2]$ quand $n$ tend vers l'infini?

Solution

1. $a=\frac{2}{\theta}$.

2. $\mathbb{E}[\hat{\theta}_n]=\mathbb{E}(X_1^2)=\theta$

3. Par définition de la variance, $\mathbb{E}[( \hat{\theta}_n-\theta)^2]=\mathbb{E}[( \hat{\theta}_n-\mathbb{E}(\hat{\theta}_n)^2]=\mbox{Var}(\hat{\theta}_n)$.

4. $\mathbb{E}[( \hat{\theta}_n-\theta)^2]=\mbox{Var}(\hat{\theta}_n)=\frac{\mbox{Var}(X_1^2)}{n}=\frac{\theta^2}{n}$.

5. Par conséquent $\mathbb{E}[( \hat{\theta}_n-\theta)^2]$ converge vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.

Meta-information

extype: string exsolution: exercice théorique exname: colonie bacterie

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