In mpascucci/morexams: A wrapper for Rexams

n <- 100
Sn <- 59
proba <- 0.95

den2 <- 4*n*(1-proba)
sol <- round(c(Sn/n - 1/sqrt(den2), Sn/n + 1/sqrt(den2)), digits=2)

Question

On considère une expérience aléatoire qui consiste à compter le nombres de "piles" en $n$ lancers d'un jeton. On note $X_i=1$, si le résultat obtenu au ième lancer est "pile" et 0 sinon. On considère que les lancers sont indépendants et effectués dans les mêmes conditions et on note $p=\mathbb{P}("pile")$.

• La valeur de $p$ est-elle à priori connue?
• Donner la loi de $X_i$.
• Donner la loi de $S_n$ le nombre de "piles" obtenus en $n$ lancers.
• Enoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev dans ce contexte.
• En utilisant que $p(1-p)\leq 1/4$, en déduire un intervalle $[A_n,B_n]$ tel que

$$ \mathbb{P}[p\in [A_n,B_n]]\geq r proba*100 \% $$

• Sur $n=r n$ lancers on a observé r Sn "piles". Donner l'intervalle correspondant.

Solution

Notons $X_i=1 \sim \mathcal{B}(p)$, alors $$ S_n=\sum_{i=1}^n X_i\sim \mathcal{B}(n,p) $$ La valeur de $p$ est à priori inconnue. L'inégalité de Bineaymé-Tchebichev fournit la majoration: $$ \mathbb{P}\left(\left\vert \overline{X}-p \right\vert >t \right) \leq \frac{p(1-p)}{n t^2} \leq \frac{1}{4nt^2} $$

Cette inégalité s'écrit aussi $$ \mathbb{P}\left(\overline{X}-t\leq p \leq \overline{X}+t \right) \geq 1-\frac{1}{ 4n t^2} $$ On cherche donc $t$ tel que $$
1-\frac{1}{4nt^2} \geq r proba $$ soit aussi $$ t \geq \frac{1}{\sqrt{4*r n * r 1-proba}} = \frac{1}{\sqrt{r den2}} $$ Ainsi pour $s_n=r Sn$, l'intervalle est $$ \left[\frac{r Sn}{r n} - \frac{1}{\sqrt{r den2}};\; \frac{r Sn}{r n} + \frac{1}{\sqrt{r den2}} \right] $$

Meta-information

extype: string exsolution: $\left[\frac{r Sn}{r n} - \frac{1}{\sqrt{r den2}} ;\; \frac{r Sn}{r n} + \frac{1}{\sqrt{r den2}} \right] = [r sol]$ exname: jetons

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