In tereom/fundamentos: Notas del curso fundamentos de estadistica.
Pruebas de hipótesis
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, warning = FALSE, message = FALSE, fig.align = 'center')
N_rep <- 1000
Las primeras técnicas inferenciales que veremos intentan contestar la siguiente pregunta:
-
Si observamos cierto patrón en los datos, ¿cómo podemos cuantificar la
evidencia de que es un patrón notable y no sólo debido a fluctuaciones en los
datos particulares que tenemos?
-
¿Cómo sabemos que no estamos sobreinterpretando esas fluctuaciones?
Por ejemplo:
- Un sistema tiene cierto comportamiento "usual" para el cual tenemos datos históricos.
El sistema presenta fluctuaciones en el tiempo.
- Observamos la última salida de nuestro sistema. Naturalmente, tiene fluctuaciones.
¿Esas fluctuaciones son consistentes con la operación usual del sistema? ¿Existe
evidencia para pensar que algo en el sistema cambió?
Comparación con poblaciones de referencia {-}
En las prueba de hipótesis, tratamos de construir distribuciones de referencia
para comparar resultados que obtengamos con un "estándar" de variación, y juzgar
si nuestros resultados son consistentes con la referencia o no [@box78].
En algunos casos, ese estándar de variación puede construirse con datos históricos.
Ejemplo {-}
Supongamos que estamos considerando cambios rápidos en una serie de tiempo de
alta frecuencia. Hemos observado la serie en su estado "normal" durante un
tiempo considerable, y cuando observamos nuevos datos quisiéramos juzgar si
hay indicaciones o evidencia en contra de que el sistema sigue funcionando
de manera similar.
Digamos que monitoreamos ventanas de tiempo de tamaño 20 y necesitamos tomar una decisión. Abajo
mostramos cinco ejemplos donde el sistema opera normalmente, que muestra la variabilidad
en el tiempo en ventanas cortas del sistema.
Ahora suponemos que obtenemos una nueva ventana de datos. ¿Hay evidencia en contra
de que el sistema sigue funcionando de manera similar?
Nuestra primera inclinación debe ser comparar: en este caso, compararamos ventanas históricas con nuestra nueva serie:
library(tidyverse)
library(lubridate)
library(nullabor)
library(patchwork)
source("R/funciones_auxiliares.R")
theme_set(theme_minimal(base_size = 14))
simular_serie <- function(n = 1000, lambda = 1, ac = 0.7, x_inicial = 1){
x <- numeric(n)
x[1] <- x_inicial
for(i in 2:n){
x[i] <- ac*(x[i - 1]) + rgamma(1, 1, 1 / lambda)
}
tibble(t = 1:n, obs = x) %>% filter(t > 50) %>%
mutate(t = t - 50 + 1)
}
# usamos datos simulados para este ejemplo
set.seed(8812)
historicos <- simular_serie(2000)
muestrear_ventanas <- function(control, obs, n_ventana = 20, long = 20){
n_control <- nrow(control)
inicios <- sample(1:(nrow(control) - long), n_ventana - 1)
control_lista <- map(inicios, function(i){
muestra <- filter(control, t %in% seq(i, i + long - 1, 1))
muestra
})
dat_lista <- append(control_lista, list(obs))
orden <- sample(1:n_ventana, n_ventana)
datos_lineup <- tibble(rep = orden, datos = dat_lista) %>%
unnest(cols = c(datos)) %>% group_by(rep) %>% mutate(t_0 = t - min(t)) %>% ungroup
list(lineup = datos_lineup,
pos = last(orden))
}
set.seed(12)
obs <- historicos[500:519, ]
ventanas_tbl <- muestrear_ventanas(historicos, obs, n_ventana = 6)
ggplot(ventanas_tbl$lineup, aes(x = t_0, y = obs, colour = factor(rep==ventanas_tbl$pos))) +
geom_line() +
geom_point() +
facet_wrap(~rep, nrow = 2) +
theme(legend.position = "none") +
scale_y_log10()
¿Vemos algo diferente en los datos nuevos (el panel de color diferente)?
Indpendientemente de la respuesta, vemos que hacer este análisis de manera tan simple no es siempre útil:
seguramente podemos encontrar maneras en que la nueva muestra (4) es diferente
a muestras históricas. Por ejemplo, ninguna de muestras tiene un "forma de montaña" tan clara.
Nos preguntamos si no estamos sobreinterpretando variaciones que son parte normal del proceso.
Podemos hacer un mejor análisis si extraemos varias muestras del comportamiento
usual del sistema, graficamos junto a la nueva muestra, y revolvemos las gráficas
para que no sepamos cuál es cuál. Entonces la pregunta es:
- ¿Podemos detectar donde están los datos nuevos?
Esta se llama una prueba de lineup, o una prueba de ronda de sospechosos [@lineup].
En la siguiente gráfica, en uno de los páneles
están los datos recientemente observados. ¿Hay algo en los datos que distinga al patrón nuevo?
# nuevos datos
obs <- simular_serie(500, x_inicial = last(obs$obs))
# muestrear datos históricos
prueba_tbl <- muestrear_ventanas(historicos, obs[1:20, ], n_ventana = 20)
# gráfica de pequeños múltiplos
ggplot(prueba_tbl$lineup, aes(x = t_0, y = obs)) + geom_line() +
facet_wrap(~rep, nrow = 4) + scale_y_log10()
```{block, type = 'ejercicio'}
¿Cuáles son los datos nuevos (solo hay un panel con los nuevos datos)?
¿Qué implica que la gráfica que escojamos como "más diferente" no sean los datos nuevos?
¿Qué implica que le "atinemos" a la gráfica de los datos nuevos?
Ahora observamos al sistema en otro momento y repetimos la comparación. En el siguiente caso obtenemos:
```r
set.seed(912)
obs_dif <- simular_serie(500, lambda = 3, ac = 0.3, x_inicial = last(historicos$obs))
prueba_tbl <- muestrear_ventanas(historicos, obs_dif[10:29, ], n_ventana = 20)
ggplot(prueba_tbl$lineup, aes(x = t_0, y = obs)) + geom_line() +
facet_wrap(~rep, nrow = 4) + scale_y_log10()
Aunque es imposible estar seguros de que ha ocurrido un cambio, la diferencia de una de las
series es muy considerable. Si identificamos los datos correctos,
la probabilidad de que hayamos señalado la nueva serie "sobreinterpretando"
fluctuaciones en un proceso que sigue comportándose normalente es 0.05 - relativamente baja.
Detectar los datos diferentes es evidencia en contra de que el sistema sigue funcionando de la misma
manera que antes.
Observaciones y terminología:
-
Llamamos hipótesis nula a la hipótesis de que los nuevos
datos son producidos bajo las mismas condiciones que los datos de control o de referencia.
-
Si no escogemos la gráfica de los nuevos datos, nuestra conclusión es que
la prueba no aporta evidencia en contra de la hipótesis nula.
-
Si escogemos la gráfica correcta, nuestra conclusión es que la prueba aporta evidencia
en contra de la hipótesis nula.
¿Qué tan fuerte es la evidencia, en caso de que descubrimos los datos no nulos?
-
Cuando el número de paneles es más grande y detectamos los datos, la evidencia es más alta en contra de la nula.
Decimos que el nivel de significancia de la prueba es la probabilidad de seleccionar a los
datos correctos cuando la hipótesis nula es cierta (el sistema no ha cambiado).
En el caso de 20 paneles, la significancia es de 1/20 = 0.05. Cuando detectamos los datos nuevos,
niveles de significancia más bajos implican más evidencia en contra de la nula.
-
Si acertamos, y la diferencia es más notoria y fue muy fácil detectar la gráfica diferente (pues
sus diferencias son más extremas),
esto también sugiere más evidencia en contra de la hipótesis nula.
-
Finalmente, esta prueba rara vez (o nunca) nos da seguridad completa acerca de ninguna conclusión, aún cuando
hiciéramos muchos páneles.
Comparando distribuciones {-}
Ahora intentamos un ejemplo más típico.
Supongamos tenemos muestras para tres grupos a, b y c, que quiere decir
que dentro de cada grupo, el proceso e selección de los elementos se hace
de manera al azar y de manera simétrica (por ejemplo cada elemento tiene a misma probabiidad de ser seleccionado,
y las extracciones se hacen de manera independiente.)
Queremos comparar las distribuciones de los datos obtenidos para cada grupo.
Quizá la pregunta detrás de esta
comparación es: el grupo de clientes b recibió una promoción especial. ¿Están gastando
más? La medición que comparamos es el gasto de los clientes.
set.seed(8)
pob_tab <- tibble(id = 1:2000, x = rgamma(2000, 4, 1),
grupo = sample(c("a","b", "c"), 2000, prob = c(4,2,1), replace = T))
muestra_tab <- pob_tab %>% sample_n(125)
g_1 <- ggplot(muestra_tab, aes(x = grupo, y = x)) + geom_boxplot(outlier.alpha = 0) +
geom_jitter(alpha = 0.3) +
coord_flip() + labs(subtitle = "Muestra")
g_1
En la muestra observamos diferencias entre los grupos. Pero notamos adicionalmente que
hay mucha variación dentro de cada grupo. Nos podríamos preguntar entonces si las diferencias
que observamos se deben variación muestral, por ejemplo.
Podemos construir ahora una hipótesis nula, que establece que las observaciones
provienen de una población similar:
- Las tres poblaciones (a, b, c)
son prácticamente indistiguibles. En este
caso, la variación que observamos se debería a que tenemos información incompleta.
Como en el ejemplo anterior necesitamos construir o obtener una distribución de referencia para comparar
qué tan extremos o diferentes son los datos que observamos. Esa distribución de referencia debería
estar basada en el supuesto de que los grupos producen datos de distribuciones similares.
Si tuvieramos mediciones similares históricas de estos tres grupos, quizá podríamos extraer
datos de referencia y comparar, como hicimos en el ejempo anterior. Pero esto es menos común en
este tipo de ejemplos.
Prueba de permutaciones y el lineup {-}
Para abordar este problema podemos pensar en usar permutaciones de los grupos de
la siguiente forma ([@box78], [@timboot14]):
- Si los grupos producen
datos bajo procesos idénticos, entonces los grupos
a, b, c solo son etiquetas que no contienen información.
- Podríamos permutar al azar las etiquetas y observar nuevamente la gráfica
de caja y brazos por grupos.
- Si la hipótesis nula es cierta (grupos idénticos), esta es una muestra tan verosímil como la que obtuvimos.
- Así que podemos construir datos de referencia permutando las etiquetas de los grupos al azar, y observando la variación que ocurre.
- Si la hipótesis nula es cercana a ser cierta, no deberíamos de poder distinguir fácilmente los
datos observados de los producidos con las permutaciones al azar.
Vamos a intentar esto, por ejemplo usando una gráfica de cuantiles simplificada. Hacemos un lineup, o una
rueda de sospechosos (usamos el paquete [@nullabor], ver [@lineup]),
donde 19 de los acusados son generados mediante permutaciones al azar de la variable del grupo,
y el culpable (los verdaderos datos) están en una posición escogida al azar. ¿Podemos identificar
los datos verdaderos? Para evitar sesgarnos, también ocultamos la etiqueta verdadera.
Usamos una gráfica que muestra los cuantes 0.10, 0.50, 0.90:
set.seed(88)
reps <- lineup(null_permute("grupo"), muestra_tab, n = 20)
reps_mezcla <- reps %>% mutate(grupo_1 = factor(digest::digest2int(grupo) %% 177))
grafica_cuantiles(reps_mezcla, grupo_1, x) +
coord_flip() +
facet_wrap(~.sample, ncol = 5) + ylab("x") +
labs(caption = "Mediana y percentiles 10% y 90%")+ geom_point(aes(colour = grupo_1))
Y la pregunta que hacemos es ¿podemos distinguir nuestra muestra entre todas las
replicaciones producidas con permutaciones?
```{block, type = 'ejercicio'}
¿Dónde están los datos observados? Según tu elección, ¿qué tan diferentes son los
datos observados de los datos nulos?
En este ejemplo, es difícil indicar cuáles son los datos. Los grupos tienen distribuciones
similares y es factible que las diferencias que observamos se deban a variación muestral.
- Si la persona escoge los verdaderos datos, encontramos evidencia en contra de la hipótesis nula
(los tres grupos son equivalentes).
En algunos contextos, se dice que los datos son *significativamente diferentes* al nivel 0.05. Esto es
evidencia en contra de que los datos se producen de manera homogénea, independientemente del grupo.
- Si la persona escoge uno de los datos permutados,
no encontramos evidencia en contra de que los tres grupos producen datos con
distribuciones similares.
## Comparaciones usando *lineup* (continuación) {-}
Repitimos el ejemplo para otra muestra (en este ejemplo el proceso generador
de datos es diferente para el grupo `b`):
```r
set.seed(72)
muestra_tab <- pob_tab %>% sample_n(90) %>%
mutate(x = ifelse(grupo == "b", 1.8 * x + 1, x))
g_1 <- ggplot(muestra_tab, aes(x = grupo, y = x)) + geom_boxplot(outlier.alpha = 0) +
geom_jitter(alpha = 0.3) +
coord_flip() + ylim(c(0, 20)) + labs(subtitle = "Muestra")
g_2 <- ggplot(pob_tab, aes(x= grupo, y = x)) + geom_boxplot(outlier.alpha = 0) +
coord_flip() + ylim(c(0, 20)) + labs(subtitle = "Población")
g_1
Hacemos primero la prueba del lineup:
set.seed(121)
reps <- lineup(null_permute("grupo"), muestra_tab, n = 20)
grafica_cuantiles(reps %>% mutate(grupo_escondido = factor(digest::digest2int(grupo) %% 177)),
grupo_escondido, x) + facet_wrap(~.sample) + ylab("x") +
coord_flip() + geom_point(aes(colour = grupo_escondido))
Podemos distinguir más o menos claramente que está localizada en valores
más altos y tiene mayor dispersión. En este caso, como en general podemos identificar los
datos, obtenemos evidencia en contra de que los tres grupos tienen distribuciones iguales.
Estos ejemplos siguen la idea de inferencia visual propuestas en
[@lineup], [@graphical-tests] e implementadas en R en el paquete lineup. Son
pruebas muy flexibles y estadísticamente rigurosas.
Prueba de permutaciones para proporciones {-}
Veremos otro ejemplo donde podemos hacer más concreta la idea de
distribución nula o de referencia usando pruebas de permutaciones. Supongamos
que con nuestra muestra
de tomadores de té, queremos probar la siguiente hipótesis nula:
- Los tomadores de té en bolsas exclusivamente usan azúcar más a tasas simillares que
los tomadores de té suelto (que pueden o no también tomar té en bolsita).
Los datos que obtuvimos en nuestra encuesta, en conteos, son:
tea <- read_csv(("data/tea.csv"))
te <- tea %>% select(how, price, sugar)
te_azucar <- tea %>% select(how, sugar) %>%
mutate(how = ifelse(how == "tea bag", "bolsa_exclusivo", "suelto o bolsa"))
te_azucar %>% count(how, sugar) %>%
pivot_wider(names_from = how, values_from = n) %>%
formatear_tabla()
Y en proporciones tenemos que:
prop_azucar <- te_azucar %>% count(how, sugar) %>%
group_by(how) %>% mutate(prop = n / sum(n), n = sum(n)) %>%
filter(sugar == "sugar") %>%
select(how, prop_azucar = prop, n) %>%
mutate(prop_azucar = round(prop_azucar,2))
prop_azucar %>% formatear_tabla()
Pero distintas muestras podrían haber dado distintos resultados. Nos preguntamos
qué tan fuerte es la evidencia en contra de que en realidad los dos grupos de personas usan azúcar en proporciones similares,
y la diferencia que vemos se puede atribuir a variación muestral.
En este ejemplo, podemos usar una estadística de prueba numérica, por ejemplo,
la diferencia entre las dos proporciones:
$$\hat p_1 - \hat p_2,$$
(tomadores de té en bolsa solamente vs. suelto y bolsa). El proceso sería entonces:
- La hipótesis nula es que los dos grupos tienen distribuciones iguales. Este caso
quiere decir que en la población, tomadores de té solo en bolsa usan
azúcar a las mismas tasas que tomadores de suelto o bolsas.
- Bajo nuestra hipótesis nula (proporciones iguales), producimos una cantidad
grande (por ejemplo 10 mil o más) de muestras permutando las etiquetas de los
grupos.
- Evaluamos nuestra estadística de prueba en cada una de las muestras
permutadas.
- El conjunto de valores obtenidos nos da nuestra distribución de referencia
(ya no estamos limitados a 20 replicaciones como en las pruebas gráficas).
- Y la pregunta clave es: ¿el valor de la estadística en nuestra muestra es
extrema en comparación a la distribución de referencia?
dif_obs <- te_azucar %>%
mutate(usa_azucar = as.numeric(sugar == "sugar")) %>%
group_by(how) %>%
summarise(prop_azucar = mean(usa_azucar), .groups = 'drop') %>%
pivot_wider(names_from = how, values_from = prop_azucar) %>%
mutate(diferencia_prop = bolsa_exclusivo - `suelto o bolsa`) %>%
pull(diferencia_prop)
La diferencia observada es:
dif_obs %>% round(3)
Ahora construimos nuestra distribución nula o de referencia:
reps <- lineup(null_permute("how"), te_azucar, n = 10000)
valores_ref <- reps %>%
mutate(usa_azucar = as.numeric(sugar == "sugar")) %>%
group_by(.sample, how) %>%
summarise(prop_azucar = mean(usa_azucar), .groups = 'drop') %>%
pivot_wider(names_from = how, values_from = prop_azucar) %>%
mutate(diferencia = bolsa_exclusivo - `suelto o bolsa`)
Y graficamos nuestros resultados (con un histograma y una gráfica de cuantiles, por ejemplo). la
estadística evaluada un cada una de nuestras muestras permutadas:
g_1 <- ggplot(valores_ref, aes(sample = diferencia)) + geom_qq(distribution = stats::qunif) +
xlab("f") + ylab("diferencia") + labs(subtitle = "Distribución nula o de referencia")
g_2 <- ggplot(valores_ref, aes(x = diferencia)) + geom_histogram(binwidth = 0.04) +
coord_flip() + xlab("") + labs(subtitle = " ")
g_1 + g_2
Este es el rango de fluctuación usual para nuestra estadística bajo la
hipótesis de que los dos grupos de tomadores de té consumen té a la misma tasa.
El valor que obtuvimos en nuestros datos es: r round(dif_obs, 2).
Misimo que no es un valor extremo en la distribución de referencia que vimos arriba. Ésta
muestra no aporta mucha evidencia en contra de que los grupos tienen distribuciones similares.
Podemos graficar otra vez marcando el valor de referencia:
# Función de distribución acumulada (inverso de función de cuantiles)
dist_perm <- ecdf(valores_ref$diferencia)
# Calculamos el percentil del valor observado
percentil_obs <- dist_perm(dif_obs)
g_1 <- ggplot(valores_ref, aes(sample = diferencia)) + geom_qq(distribution = stats::qunif) +
xlab("f") + ylab("diferencia") + labs(subtitle = "Distribución nula o de referencia") +
geom_hline(yintercept = dif_obs, colour = "red") +
annotate("text", x = 0.3, y = dif_obs - 0.05, label = "diferencia observada", colour = "red")
g_2 <- ggplot(valores_ref, aes(x = diferencia)) + geom_histogram(binwidth = 0.04) +
coord_flip() + xlab("") + labs(subtitle = " ") +
geom_vline(xintercept = dif_obs, colour = "red") +
annotate("text", x = dif_obs, y = N_rep * .3, label = percentil_obs,vjust = -0.2, colour = "red")
g_1 + g_2
Y vemos que es un valor algo (pero no muy) extremo en la distribución de referencia que vimos arriba: esta
muestra no aporta una gran cantidad de
evidencia en contra de que los grupos tienen distribuciones similares, que
en este caso significa que los dos grupos usan azúcar a tasas similares. Es decir, sobre
la hipótesis
$$H_0: p_1 = p_2,$$
o bien,
$$H_0: p_1 - p_2 = 0.$$
Pruebas de hipótesis tradicionales {-}
Comencemos recordando la definición de parámetro y estadística.
```{block, type='mathblock'}
Definición. Un parámetro es una característica (numérica) de una
población o de una distribución de probabilidad. Usualmente denotado por
$\theta \in \mathbb{R},$ o por $\theta \in \mathbb{R}^p.$
Una estadística es una característica (numérica) de los datos. Usualmente
denotado por $\hat \theta.$
Cualquier función de un parámetro es también un parámetro $\varphi = h(\theta),$ y cualquier función
de una estadística es también una estadística $\hat \varphi = h(\hat \theta).$ Cuando la estadística se calcula
de una muestra aleatoria ($T(X),$ para $X_i \sim \pi_x$ para $i = 1, \ldots, n$), es por consiguiente aleatoria y es por tanto una
variable aleatoria ($T \sim \pi_T$).
* Por ejemplo $\mu$ y $\sigma$ son parámetros de la distribución normal con
función de densidad $\pi(x) = (1/\sqrt{2\pi}\sigma)e^{(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$.
La varianza $\sigma^2$, y el coeficiente de variación (cociente de *señal a ruido*) $\mu/\sigma$ también
son parámetros.
* Si $X_1, \ldots ,X_n$ son una muestra aleatoria, entonces la media
$\bar{X}=\frac1n\sum_i X_i$ es una estadística.
Ahora podemos pasar a las definiciones correspondientes a pruebas de hipótesis
(o pruebas de significancia).
```{block, type='mathblock'}
**Definición.** Denotamos por $H_0$ a la *hipótesis nula* la cual usualmente
tratamos como la afirmación del *status quo.*
La hipótesis alternativa la denotamos por $H_1$ y representa el supuesto que
está a prueba y para el cual buscamos evidencia en los datos.
```{block, type='mathblock'}
Definición. La hipótesis normalmente se plantea en términos de un parámetro
($\theta\in\mathbb{R}$) o conjunto de parámetros ($\theta\in\mathbb{R}^p$) de la
distribución de interés (por ejemplo media, moda, varianza). Para una hipótesis
nula del estilo $H_0: \theta = \theta_0,$ la hipótesis a contrastar se puede
denominar como:
- Hipótesis alternativa de una cola $H_1: \theta \gt \theta_0$
- Hipótesis alternativa de dos colas $H_1: \theta \neq \theta_0$
En el ejemplo anterior planteamos hipótesis nula (proporciones iguales) e
hipótesis alternativa que la proporción de tomadores de te suelto que usan
azúcar en menor, esto corresponde a una hipótesis alternativa a dos colas:
$H_0: p_1 = p_2$, y $H_1:p_1 > p_2$.
```{block, type='mathblock'}
**Definición.** Una *estadística de prueba* es una función numérica de los datos
cuyo valor determina el resultado de la prueba. La función usualmente es
denotada por $T(\bf X)$ donde $\bf X$ representa los datos como variable
aleatoria. Por ejemplo,
$T = T(X_1, \ldots, X_n)$ si sólo tenemos una muestra, o por
$T = T(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_m)$ en el caso de tener dos muestras. Al
evaluar la prueba para un conjunto de datos dado, $x$, ésta se denomina
*estadística de prueba observada,* $t = T(x).$
La estadística de prueba correspondiente al ejemplo es $T = \hat p_1 - \hat p_2.$
```{block, type='mathblock'}
Definición. El valor p es la probabilidad de que bajo la hipótesis nula
los datos generen un valor tan extremo como la estadística de prueba observada.
Por ejemplo, si consideramos la hipótesis nula admite valores grandes, el valor
p se calcula como $P(T \geq t).$
En el ejemplo de tomadores de té: el valor *p* lo calculamos usando el percentil donde
nuestra observación cae en la distribución generada por las permutación (valor
*p* de una cola).
Por otro lado, podemos calcular:
- **Valor p de dos colas**: Si la hipótesis nula es cierta, ¿cuál es la
**probabilidad** de observar una diferencia **tan extrema o más extrema de lo
que observamos**?
Considerando este caso interpretamos *extrema* como qué tan lejos cae del centro de
masa de la distribución. De tal orma que podemos calcular el valor *p* como sigue.
A partir del valor observado, consideramos cuál dato es menor: la probabilidad
bajo lo hipótesis nula de observar una diferencia mayor de la que observamos, o
la probabilidad de observar una diferencia menor a la que observamos. Tomamos
el mínimo y multiplicamos por dos [@timboot14]:
```r
2 * min(dist_perm(dif_obs), (1 - dist_perm(dif_obs)))
Este valor p se considera como evidencia moderada en contra de la hipótesis
nula. Valores p chicos (observaciones más extremas en comparación con la
referencia) aportan más evidencia en contra de la hipótesis nula, y valores
más grandes aportan menos evidencia en contra.
```{block, type='mathblock'}
Definición. Un resultado es estadisticamente significativo si tiene muy
baja probabilidad de suceder al azar.
Entre más pequeño requiramos un valor *p* oara declarar un resultado
estadísticamente significativo, somos *más conservadores*.
Las pruebas de hipótesis con frecuencia inician contestando una pregunta más
general que los valores *p*: ¿Cuál es la distribución de la estadística de
prueba cuando no hay un efecto real?
```{block, type='mathblock'}
**Definición.** La **distribución nula** es la distribución de la estadística de
prueba si la hipótesis nula es cierta.
En ocasiones también nos referimos a ella como la distribución de referencia
pues estamos comparando la estadística de prueba observada a su referencia
para determinar que tan inusual es.
En el ejemplo de tomadores de té aproximamos la distribución nula (y los valores
p) con simulación; sin embargo, para algunas estadísticas hay métodos exactos.
En particular, usamos el método de pruebas de permutación. Para dicha prueba el
algoritmo para en el caso de dos grupos sería como sigue:
```{block, type='mathblock'}
Prueba de permutación para dos muestras
Supongamos que tenemos m observaciones de una población y n de otra.
- Combina los
m+n valores.
- Repite:
- Obtén un remuestra de tamaño
m sin reemplazo del total.
- Usa las
n observaciones restantes para obtener la otra muestra.
- Calcula la estadística de prueba (que compara las muestras).
- Calcula el valor p como la fracción de las veces que la estadística
sobrepasó la estadística observada, multiplica por 2 para una prueba de dos
lados.
La distribución de la estadística a lo largo de las remuestras de permutación
es la **distribución de permutación**. Ésta puede ser exacta, si se calcula
exhaustivamente (como cuando tenemos pocas observaciones) o aproximada (cuando enlistar todas las
posible combinaciones es prohibitivo).
## Tomadores de té (continuación) {-}
Ahora hacemos una prueba de permutaciones para otro par de proporciones utilizando el mismo
método. La hipótesis nula ahora es:
- Los tomadores de té Earl Gray usan azúcar a una tasa similar a los tomadores de té negro.
Los datos que obtuvimos en nuestra encuesta se muestran en la siguiente tabla:
```r
set.seed(23)
te_azucar <- tea %>%
select(Tea, sugar) %>%
filter(Tea != "green")
te_azucar %>%
count(Tea, sugar) %>%
pivot_wider(names_from = Tea, values_from = n) %>%
formatear_tabla()
Y en porcentajes tenemos que:
prop_azucar <- te_azucar %>%
count(Tea, sugar) %>%
group_by(Tea) %>%
mutate(prop = 100 * n / sum(n),
n = sum(n)) %>%
filter(sugar == "sugar") %>%
select(Tea, prop_azucar = prop, n) %>%
mutate('% usa azúcar' = round(prop_azucar)) %>%
select(-prop_azucar)
prop_azucar %>% formatear_tabla
Pero distintas muestras podrían haber dado distintos resultados. Nos preguntamos
qué tan fuerte es la evidencia en contra de que en realidad los dos grupos de
personas usan azúcar en proporciones similares considerando que la
diferencia que vemos se puede atribuir a variación muestral.
Escribimos la función que calcula diferencias para cada muestra:
calc_diferencia_2 <- function(datos){
datos %>%
mutate(usa_azucar = as.numeric(sugar == "sugar")) %>%
group_by(Tea) %>%
summarise(prop_azucar = mean(usa_azucar), .groups = 'drop') %>%
pivot_wider(names_from = Tea, values_from = prop_azucar) %>%
mutate(diferencia_prop = `Earl Grey` - black) %>%
pull(diferencia_prop)
}
La diferencia observada es:
dif_obs <- calc_diferencia_2(te_azucar)
dif_obs %>% round(3)
Ahora construimos nuestra distribución nula o de referencia:
set.seed(2)
reps <- lineup(null_permute("Tea"), te_azucar, n = N_rep)
valores_ref <- reps %>%
group_by(.sample) %>%
nest() %>%
mutate(diferencia = lapply(data, calc_diferencia_2)) %>%
unnest(diferencia)
Y podemos graficar la distribución de referencia otra vez marcando el valor observado
# Función de distribución acumulada (inverso de función de cuantiles)
dist_perm <- ecdf(valores_ref$diferencia)
# Calculamos el percentil del valor observado
percentil_obs <- dist_perm(dif_obs)
g_1 <- ggplot(valores_ref, aes(sample = diferencia)) + geom_qq(distribution = stats::qunif) +
xlab("f") + ylab("diferencia") + labs(subtitle = "Distribución nula o de referencia") +
geom_hline(yintercept = dif_obs, colour = "red") +
annotate("text", x = 0.3, y = dif_obs - 0.02, label = "diferencia observada", colour = "red")
g_2 <- ggplot(valores_ref, aes(x = diferencia)) + geom_histogram(binwidth = 0.04) +
coord_flip() + xlab("") + labs(subtitle = "") +
geom_vline(xintercept = dif_obs, colour = "red") +
annotate("text", x = dif_obs, y = N_rep * .3, label = percentil_obs,vjust = 1, colour = "red")
g_1 + g_2
En este caso, la evidencia es muy fuerte en contra de la hipótesis nula, pues el
resultado que obtuvimos es muy extremo en relación a la distribución de referencia.
El valor p es cercano a 0.
```{block, type = 'ejercicio'}
* Haz una prueba de permutaciones para diferencia de medias para comparar la
propina en cena vs en comidas.
* Grafica la distribución de referencia.
* Calcula el valor p (dos colas).
## Pruebas de permutación: problemas en implementación. {-}
Hasta ahora nos hemos centrado en ejemplos de diferencias en medias. Podemos
extender las pruebas de permutación a $\bar{X}$ (la media de la primera muestra),
$n\bar{X}$ (la suma de las observaciones en la primera muestra), y más.
```{block, type='mathblock'}
**Teorema.** En pruebas de permutación, si dos estadísticas de prueba $T_1$ y
$T_2$ están relacionadas por una función estríctamente creciente,
$T_1(X^*)=f(T_2(X^*))$ donde $X^*$ es una remuestra de permutación de los datos
originales, entonces los valores *p* serán los mismos en las pruebas de
permutación.
Agregar uno al numerador y denominador. Cuando se calcula el valor p en la
implementación de muestreo, podemos agregar un uno al numerador y denominador. Esto
corresponde a incluir los datos como una remuestra adicional y sirve para evitar
reportar el valor p $= 0,$ que es imposible pues siempre hay una remuestra con un
valor al menos tan extremo como los datos observados (los datos mismos).
Muestras con reemplazo de la Distribución Nula. En la implementación de
muestreo, no nos aseguramos que las remuestras sean únicas. Sería más acertado
tomar muestras sin reemplazo, sin embargo, el costo computacional es demasiado
alto. Por simplicidad consideramos muestras con reemplazo del total de
$$m+n\choose n$$
posibles remuestras. Por lo tanto, al remuestrar obtenemos una muestra de la distribución nula.
Entre más muestras, más exactitud. Hemos usado $B = 10^3$ remuestras (N_rep en el código),
en general entre más remuestras tendremos una mejor estimación del valor p. Si el
verdadero valor es $p$ el estimado tendrá una varianza aproximadamente de
$p(1- p)/B$ donde $B$ es el número de remuestras generadas.
Observación. Así como los $n$ datos originales son una muestra de la
población, también las $B$ remuestras de la estadística son una muestra de una
población, en este caso de la distribución nula.
La pruebas de permutaciones son más útiles cuando nuestra hipótesis nula se refiere
que la distribución de los grupos son muy similares, o la independencia entre
observaciones y grupo. Esto también aplica cuando queremos probar por ejemplo, que
una variable numérica $Y$ es independiente de $X.$
-
Hay algunas hipótesis que no se pueden probar con este método, como por ejemplo,
las que se refieren a una sola muestra: ¿los datos son consistentes con que su
media es igual a 5?
-
Adicionalmente, en algunas ocasiones queremos probar aspectos más específicos
de las diferencias: como ¿son iguales las medias o medianas de dos grupos de
datos? ¿Tienen dispersión similar?
Las pruebas de permutaciones no están tan perfectamente adaptadas a este
problema, pues prueban todos los aspectos de las distribuciones que se
comparan, aún cuando escojamos una estadística particular que pretende medir.
Por ejemplo, cuando trabajamos con la diferencia de medias. Eso quiere decir que podemos
rechazar igualdad de medias, por ejemplo, cuando en realidad otra característica de las
distribuciones es la que difiere mucho en las poblaciones.
En algunas referencias (ver [@Chihara], [@Efron]) se argumenta que de todas formas
las pruebas de permutaciones son relativamente robustas a esta desadaptación. Un caso
excepcional, por ejemplo, es cuando las poblaciones que comparamos resultan tener dispersión extremadamente distinta, y adicionalmente los tamaños de muestra de los grupos son muy desiguales (otra vez, ver ejemplos en [@Chihara]).
Ejemplo: tiempos de fusión {-}
Veamos el siguiente ejemplo, que es un experimento donde se midió el tiempo
que tardan distintas personas en fusionar un estereograma para ver una imagen 3D. (@cleveland93).
Existen dos condiciones: en una se dio indicaciones de qué figura tenían que
buscar (VV) y en otra no se dio esa indicación. ¿Las instrucciones verbales
ayudan a fusionar más rápido el estereograma?
fusion <- read_delim("./data/fusion_time.txt", delim = " ", trim_ws = TRUE)
ggplot(fusion, aes(x = nv.vv, y = time)) + geom_boxplot() + geom_jitter()
La situación es la siguiente: considerando que hay mucha variación en el
tiempo de fusión dentro de cada tratamiento, necesitamos calificar la evidencia
de nuestra conclusión (el tiempo de fusión se reduce con información verbal).
Podemos usar una prueba de permutaciones, esta vez justificándola por el hecho
de que los tratamientos se asignan al azar: si los tratamientos son
indistinguibles, entonces las etiquetas de los grupos son sólo etiquetas, y
permutarlas daría muestras igualmente verosímiles.
En este caso, compararemos gráficas de cuantiles de los datos con los
producidos por permutaciones (transformamos los datos pues en este caso es
más apropiado una comparación multiplicativa):
set.seed(113)
reps <- lineup(null_permute("nv.vv"), fusion, 20)
ggplot(reps, aes(sample = time, colour = nv.vv)) +
geom_qq(distribution = stats::qunif, size = 0.5) +
facet_wrap(~.sample) + scale_y_log10() +
scale_x_continuous(breaks = c(0, 0.5, 1))
```{block, type = 'ejercicio'}
¿Podemos identificar los datos? En general, muy frecuentemente las personas
identifican los datos correctamente,
lo que muestra evidencia considerable de que la instrucción verbal
altera los tiempos de respuesta de los partipantes, y en este caso
ayuda a reducir el tiempo de fusión de los estereogramas.
## Ejemplo: tiempos de fusión (continuación) {-}
Podemos usar las pruebas de permutaciones para distintos de tipos de
estadísticas: medianas, medias, comparar dispersión usando rangos
intercuartiles o varianzas, etc.
Regresamos a los tiempos de fusión. Podemos hacer una prueba de permutaciones para
la diferencia de las medias o medianas, por ejemplo. En este ejemplo usaremos
una medida de centralidad un poco diferente, como ilustración: el promedio de los cuartiles
superior e inferior de las dos distribuciones. Usaremos el cociente de estas dos cantidades
para medir su diferencia
```r
# esta función hace permutaciones y calcula la diferencia para cada una
permutaciones_est <- function(datos, variable, calc_diferencia, n = 1000){
# calcular estadística para cada grupo
permutar <- function(variable){
sample(variable, length(variable))
}
tbl_perms <- tibble(.sample = seq(1, n-1, 1)) %>%
mutate(diferencia = map_dbl(.sample,
~ datos %>% mutate({{variable}}:= permutar({{variable}})) %>% calc_diferencia))
bind_rows(tbl_perms, tibble(.sample = n, diferencia = calc_diferencia(datos)))
}
stat_fusion <- function(x){
(quantile(x, 0.75) + quantile(x, 0.25))/2
}
calc_fusion <- function(stat_fusion){
fun <- function(datos){
datos %>%
group_by(nv.vv) %>%
summarise(est = stat_fusion(time), .groups = 'drop') %>%
pivot_wider(names_from = nv.vv, values_from = est) %>%
mutate(dif = VV / NV ) %>% pull(dif)
}
fun
}
calc_cociente <- calc_fusion(stat_fusion)
dif_obs <- calc_cociente(fusion)
# permutar
valores_ref <- permutaciones_est(fusion, nv.vv, calc_cociente, n = N_rep)
dist_perm_nv <- ecdf(valores_ref$diferencia)
cuantil_obs <- dist_perm_nv(dif_obs)
g_1 <- ggplot(valores_ref, aes(sample = diferencia)) +
geom_qq(distribution = stats::qunif) +
xlab("f") + ylab("Cociente media intercuartil") +
labs(subtitle = "Distribución nula o de referencia") +
geom_hline(yintercept = dif_obs, colour = "red") +
annotate("text", x = 0.3, y = dif_obs - 0.05, label = "diferencia observada", colour = "red")
g_2 <- ggplot(valores_ref, aes(x = diferencia)) + geom_histogram(binwidth = 0.04) +
coord_flip() + xlab("") + labs(subtitle = " ") +
geom_vline(xintercept = dif_obs, colour = "red") +
annotate("text", x = dif_obs, y = N_rep * .3, label = cuantil_obs,vjust = 0,
colour = "red")
g_1 + g_2
Y el valor p de dos colas es
dist_perm_nv <- ecdf(valores_ref$diferencia)
2 * min(dist_perm_nv(dif_obs), 1 - dist_perm_nv(dif_obs))
Lo que muestra evidencia considerable, aunque no muy fuerte, de que la
instrucción verbal ayuda a reducir el tiempo de fusión de los estereogramas: la
caja del diagrama de caja y brazos para el grupo VV está encogida por un
factor menor a 1.
Separación de grupos {-}
Este ejemplo tomado de [@cookwasps] (tanto la idea como el código). La pregunta que se aborda en
ese estudio es:
- Existen métodos de clasificación (supervisados o no supervisados) para formar grupos en términos
de variables que describen a los individuos
- Estos métodos (análisis discriminante, o
k-means, por ejemplo), pretenden formar grupos compactos,
bien separados entre ellos. Cuando aplicamos el método, obtenemos clasificadores basados en las variables
de entrada.
- La pregunta es: ¿los grupos resultantes son producto de patrones que se generalizan a la población, o
capitalizaron en variación aleatoria para formarse?
- Especialmente cuando tenemos muchas mediciones de los individuos, y una muestra relativamente chica,
Es relativamente fácil encontrar combinaciones de variables que separan los grupos, aunque estas combinaciones
y diferencias están basadas en ruido y no generalizan a la población.
Como muestran en [@cookwasps], el lineup es útil para juzgar si tenemos evidencia en contra de que los
grupos en realidad son iguales, y usamos variación muestral para separarlos.
Avispas (opcional) {-}
En el siguiente ejemplo, tenemos 4 grupos de avispas (50 individuos en total),
y para cada individuo se miden expresiones
de 42 genes distintos. La pregunta es: ¿Podemos separar a los grupos de avispas
dependiendo de sus mediciones?
En este se usó análisis discriminante (LDA) para buscar proyecciones de los
datos en dimensión baja de forma que los grupos sean lo más compactos y separados posibles.
Para probar qué tan bien funciona este método, podemos hacer una prueba de permutación, aplicamos
LDA y observamos los resultados.
# código del paquete nullabor
data(wasps)
wasp.lda <- MASS::lda(Group~., data=wasps[,-1])
wasp.ld <- predict(wasp.lda, dimen=2)$x
true <- data.frame(wasp.ld, Group=wasps$Group)
wasp.sim <- data.frame(LD1=NULL, LD2=NULL, Group=NULL, .n=NULL)
for (i in 1:19) {
x <- wasps
x$Group <- sample(x$Group)
x.lda <- MASS::lda(Group~., data=x[,-1])
x.ld <- predict(x.lda, dimen=2)$x
sim <- data.frame(x.ld, Group=x$Group, .n=i)
wasp.sim <- rbind(wasp.sim, sim)
}
pos <- sample(1:20, 1)
d <- lineup(true=true, samples=wasp.sim, pos=pos)
ggplot(d, aes(x=LD1, y=LD2, colour=Group)) +
facet_wrap(~.sample, ncol=5) +
geom_point() + theme(aspect.ratio=1)
Y vemos que incluso permutando los grupos, es generalmente posible separarlos en grupos
bien definidos: la búsqueda es suficientemente agresiva para encontrar
combinaciones lineales que los separan. Que no podamos distinguir
los datos verdaderos de las replicaciones nulas indica que este método difícilmente puede
servir para separar los grupos claramente.
Otro enfoque sería separar los datos en una muestra de entrenamiento y una de prueba (que discutiremos
en la última sesión). Aplicamos el procedimiento a la muestra de entrenamiento y luego vemos qué pasa
con los datos de prueba:
set.seed(8)
wasps_1 <- wasps %>% mutate(u = runif(nrow(wasps), 0, 1))
wasps_entrena <- wasps_1 %>% filter(u <= 0.8)
wasps_prueba <- wasps_1 %>% filter(u > 0.8)
wasp.lda <- MASS::lda(Group ~ ., data=wasps_entrena[,-1])
wasp_ld_entrena <- predict(wasp.lda, dimen=2)$x %>%
as_tibble(.name_repair = "universal") %>%
mutate(tipo = "entrenamiento") %>%
mutate(grupo = wasps_entrena$Group)
wasp_ld_prueba <- predict(wasp.lda, newdata = wasps_prueba, dimen=2)$x %>%
as_tibble(.name_repair = "universal") %>%
mutate(tipo = "prueba")%>%
mutate(grupo = wasps_prueba$Group)
wasp_lda <- bind_rows(wasp_ld_entrena, wasp_ld_prueba)
ggplot(wasp_lda, aes(x = LD1, y = LD2, colour = grupo)) + geom_point(size = 3) +
facet_wrap(~tipo)
Aunque esta separación de datos es menos efectiva en este ejemplo por la muestra chica, podemos ver
que la separación lograda en los datos de entrenamiento probablemente se debe a variación muestral.
La "crisis de replicabilidad" {-}
Recientemente [@falsefindings] se ha reconocido
en campos como la psicología la crisis de replicabilidad. Varios estudios que recibieron
mucha publicidad inicialmente no han podido ser replicados
posteriormente por otros investigadores. Por ejemplo:
- Hacer poses poderosas produce cambios fisiológicos que mejoran nuestro desempeño en ciertas tareas.
- Mostrar palabras relacionadas con "viejo" hacen que las personas caminen más lento (efectos de priming).
En todos estos casos, el argumento de la evidencia de estos efectos fue respaldada
por una prueba de hipótesis nula con un valor p menor a 0.05. La razón es que ese es el estándar de publicación
seguido por varias áreas y revistas arbitradas. La tasa de no replicabilidad
parece ser mucho más alta (al menos la mitad o más, según algunas fuentes como la señalada arriba)
que la sugerida por la tasa de falsos positivos (menos de 5\%).
Este problema de replicabilidad parece ser más frecuente cuando:
- Se trata de estudios de potencia baja: mediciones ruidosas y tamaños de muestra chicos.
- El plan de análisis no está claramente definido desde un principio (lo cual es difícil cuando
se están investigando "fenómenos no estudiados antes").
¿A qué se atribuye esta crisis de replicabilidad?
El jardín de los senderos que se bifurcan {-}
Aunque haya algunos ejemplos de manipulaciones conscientes ---e incluso, en menos casos,
malintencionadas--- para obtener resultados publicables o significativos
(p-hacking), como vimos en
ejemplos anteriores, hay varias decisiones, todas razonables, que podemos tomar cuando
estamos buscando las comparaciones correctas. Algunas pueden ser:
- Transformar los datos (tomar o no logaritmos, u otra transformación).
- Editar datos atípicos (razonable si los equipos pueden fallar, o hay errores de captura, por ejemplo).
- Distintas maneras de interpretar los criterios de inclusión de un estudio (por ejemplo, algunos participantes
mostraron tener gripa, o revelaron que durmieron muy poco la noche anterior, etc. ¿los dejamos o los quitamos?).
Dado un conjunto de datos, las justificaciones de las decisiones que se toman
en cada paso son razonables, pero con datos distintos las decisiones podrían ser diferentes.
Este es el jardín de los senderos que se bifurcan (ver referencia en Gelman),
que invalida en parte el uso valores p como criterio de evidencia contra la hipótesis nula.
Esto es exacerbado por:
- Tamaños de muestra chicos y efectos "inestables" que se quieren medir (por ejemplo en psicología).
- El hecho de que el criterio de publicación es obtener un
valor $p < 0.05$, y la presión fuerte sobre los investigadores
para producir resultados publicables ($p < 0.05$).
- El que estudios o resultados similares que no obtuvieron valores $p$ por debajo del umbral no son
publicados o reportados.
Ver por ejemplo el comunicado de la ASA.
Ojo: esas presiones de publicación no sólo ocurre para investigadores en psicología. Cuando
trabajamos en problemas de análisis de datos que son de importancia, es común que
existan intereses de algunas partes o personas involucradas por algunos resultados u otros (por
ejemplo, nuestros clientes de consultoría o clientes internos). Eso puede dañar nuestro trabajo
como analistas, y el avance de nuestro equipo. Aunque esas presiones son inevitables, se vuelven
manejables cuando hay una relación de confianza entre las partes involucradas.
Ejemplo: decisiones de análisis y valores p {-}
En el ejemplo de datos de fusión, decidimos probar, por ejemplo, el promedio de
los cuartiles inferior y superior, lo cual no es una decisión típica pero usamos como
ilustración. Ahora intentamos usar distintas mediciones de la diferencia entre los grupos,
usando distintas medidas resumen y transformaciones (por ejemplo, con o sin logaritmo). Aquí hay
unas 12 combinaciones distintas para hacer el análisis (multiplicadas por criterios
de "aceptación de datos en la muestra", que simulamos tomando una submuestra al azar):
calc_fusion <- function(stat_fusion, trans, comparacion){
fun <- function(datos){
datos %>%
group_by(nv.vv) %>%
summarise(est = stat_fusion({{ trans }}(time)), .groups = 'drop') %>%
pivot_wider(names_from = nv.vv, values_from = est) %>%
mutate(dif = {{ comparacion }}) %>% pull(dif)
}
fun
}
valor_p <- function(datos, variable, calc_diferencia, n = 1000){
# calcular estadística para cada grupo
permutar <- function(variable){
sample(variable, length(variable))
}
tbl_perms <- tibble(.sample = seq(1, n-1, 1)) %>%
mutate(diferencia = map_dbl(.sample,
~ datos %>% mutate({{variable}} := permutar({{variable}})) %>% calc_diferencia))
perms <- bind_rows(tbl_perms, tibble(.sample = n, diferencia = calc_diferencia(datos)))
perms_ecdf <- ecdf(perms$diferencia)
dif <- calc_diferencia(datos)
2 * min(perms_ecdf(dif), 1- perms_ecdf(dif))
}
set.seed(7272)
media_cuartiles <- function(x){
(quantile(x, 0.75) + quantile(x, 0.25))/2
}
# nota: usar n=10000 o más, esto solo es para demostración:
ejemplo <- list()
calc_dif <- calc_fusion(mean, identity, VV - NV)
ejemplo$media_dif <- valor_p(fusion %>% sample_frac(0.95), nv.vv, calc_dif, n = N_rep)
calc_dif <- calc_fusion(mean, log, VV - NV)
ejemplo$media_dif_log <- valor_p(fusion %>% sample_frac(0.95), nv.vv, calc_dif, n = N_rep)
calc_dif <- calc_fusion(median, identity, VV / NV)
ejemplo$mediana_razon <- valor_p(fusion %>% sample_frac(0.95), nv.vv, calc_dif, n = N_rep)
calc_dif <- calc_fusion(media_cuartiles, identity, VV / NV)
ejemplo$cuartiles_razon <- valor_p(fusion %>% sample_frac(0.95), nv.vv, calc_dif, n = N_rep)
ejemplo <- read_rds("cache/ejemplo_p_val.rds")
ejemplo$media_dif
ejemplo$media_dif_log
ejemplo$mediana_razon
ejemplo$cuartiles_razon
Si existen grados de libertad ---muchas veces necesarios para hacer un análisis exitoso---, entonces
los valores p pueden tener poco significado.
Alternativas o soluciones {-}
El primer punto importante es reconocer que la mayor parte de nuestro trabajo
es exploratorio (recordemos el proceso complicado del análisis de datos de refinamiento de preguntas).
En este tipo de trabajo, reportar valores p puede tener poco sentido,
y mucho menos tiene sentido aceptar algo verdadero cuando pasa un umbral de significancia dado.
Nuestro interés principal al hacer análisis es: expresar correctamente, y de manera útil, la incertidumbre
asociada a las conclusiones o patrones que mostramos
(asociada a variación muestral, por ejemplo) con el objetivo que el proceso de toma de decisiones sea informado. Un resumen de un número (valor p, o el que sea) no puede ser tomado como criterio para tomar una decisión que generalmente es compleja.
En la siguiente sección veremos cómo podemos mostrar parte de esa incertidumbre de manera más útil.
Por otra parte, los estudios confirmatorios (donde se reportan valores p)
también tienen un lugar. En áreas como la psicología, existen ahora movimientos fuertes en
favor de la repetición de estudios prometedores pero donde hay sospecha
de grados de libertad del investigador. Este movimiento
sugiere dar valor a los estudios exploratorios que no reportan valor p,
y posteriormente, si el estudio
es de interés, puede intentarse una replicación confirmatoria, con potencia más alta y con planes de análisis predefinidos.
tereom/fundamentos documentation built on Aug. 10, 2021, 11:59 a.m.
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Pruebas de hipótesis
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, warning = FALSE, message = FALSE, fig.align = 'center') N_rep <- 1000
Las primeras técnicas inferenciales que veremos intentan contestar la siguiente pregunta:
-
Si observamos cierto patrón en los datos, ¿cómo podemos cuantificar la evidencia de que es un patrón notable y no sólo debido a fluctuaciones en los datos particulares que tenemos?
-
¿Cómo sabemos que no estamos sobreinterpretando esas fluctuaciones?
Por ejemplo:
- Un sistema tiene cierto comportamiento "usual" para el cual tenemos datos históricos. El sistema presenta fluctuaciones en el tiempo.
- Observamos la última salida de nuestro sistema. Naturalmente, tiene fluctuaciones. ¿Esas fluctuaciones son consistentes con la operación usual del sistema? ¿Existe evidencia para pensar que algo en el sistema cambió?
Comparación con poblaciones de referencia {-}
En las prueba de hipótesis, tratamos de construir distribuciones de referencia para comparar resultados que obtengamos con un "estándar" de variación, y juzgar si nuestros resultados son consistentes con la referencia o no [@box78].
En algunos casos, ese estándar de variación puede construirse con datos históricos.
Ejemplo {-}
Supongamos que estamos considerando cambios rápidos en una serie de tiempo de alta frecuencia. Hemos observado la serie en su estado "normal" durante un tiempo considerable, y cuando observamos nuevos datos quisiéramos juzgar si hay indicaciones o evidencia en contra de que el sistema sigue funcionando de manera similar.
Digamos que monitoreamos ventanas de tiempo de tamaño 20 y necesitamos tomar una decisión. Abajo mostramos cinco ejemplos donde el sistema opera normalmente, que muestra la variabilidad en el tiempo en ventanas cortas del sistema.
Ahora suponemos que obtenemos una nueva ventana de datos. ¿Hay evidencia en contra de que el sistema sigue funcionando de manera similar?
Nuestra primera inclinación debe ser comparar: en este caso, compararamos ventanas históricas con nuestra nueva serie:
library(tidyverse) library(lubridate) library(nullabor) library(patchwork) source("R/funciones_auxiliares.R") theme_set(theme_minimal(base_size = 14))
simular_serie <- function(n = 1000, lambda = 1, ac = 0.7, x_inicial = 1){ x <- numeric(n) x[1] <- x_inicial for(i in 2:n){ x[i] <- ac*(x[i - 1]) + rgamma(1, 1, 1 / lambda) } tibble(t = 1:n, obs = x) %>% filter(t > 50) %>% mutate(t = t - 50 + 1) }
# usamos datos simulados para este ejemplo set.seed(8812) historicos <- simular_serie(2000)
muestrear_ventanas <- function(control, obs, n_ventana = 20, long = 20){ n_control <- nrow(control) inicios <- sample(1:(nrow(control) - long), n_ventana - 1) control_lista <- map(inicios, function(i){ muestra <- filter(control, t %in% seq(i, i + long - 1, 1)) muestra }) dat_lista <- append(control_lista, list(obs)) orden <- sample(1:n_ventana, n_ventana) datos_lineup <- tibble(rep = orden, datos = dat_lista) %>% unnest(cols = c(datos)) %>% group_by(rep) %>% mutate(t_0 = t - min(t)) %>% ungroup list(lineup = datos_lineup, pos = last(orden)) } set.seed(12) obs <- historicos[500:519, ] ventanas_tbl <- muestrear_ventanas(historicos, obs, n_ventana = 6) ggplot(ventanas_tbl$lineup, aes(x = t_0, y = obs, colour = factor(rep==ventanas_tbl$pos))) + geom_line() + geom_point() + facet_wrap(~rep, nrow = 2) + theme(legend.position = "none") + scale_y_log10()
¿Vemos algo diferente en los datos nuevos (el panel de color diferente)?
Indpendientemente de la respuesta, vemos que hacer este análisis de manera tan simple no es siempre útil: seguramente podemos encontrar maneras en que la nueva muestra (4) es diferente a muestras históricas. Por ejemplo, ninguna de muestras tiene un "forma de montaña" tan clara.
Nos preguntamos si no estamos sobreinterpretando variaciones que son parte normal del proceso.
Podemos hacer un mejor análisis si extraemos varias muestras del comportamiento usual del sistema, graficamos junto a la nueva muestra, y revolvemos las gráficas para que no sepamos cuál es cuál. Entonces la pregunta es:
- ¿Podemos detectar donde están los datos nuevos?
Esta se llama una prueba de lineup, o una prueba de ronda de sospechosos [@lineup]. En la siguiente gráfica, en uno de los páneles están los datos recientemente observados. ¿Hay algo en los datos que distinga al patrón nuevo?
# nuevos datos obs <- simular_serie(500, x_inicial = last(obs$obs)) # muestrear datos históricos prueba_tbl <- muestrear_ventanas(historicos, obs[1:20, ], n_ventana = 20) # gráfica de pequeños múltiplos ggplot(prueba_tbl$lineup, aes(x = t_0, y = obs)) + geom_line() + facet_wrap(~rep, nrow = 4) + scale_y_log10()
```{block, type = 'ejercicio'} ¿Cuáles son los datos nuevos (solo hay un panel con los nuevos datos)? ¿Qué implica que la gráfica que escojamos como "más diferente" no sean los datos nuevos? ¿Qué implica que le "atinemos" a la gráfica de los datos nuevos?
Ahora observamos al sistema en otro momento y repetimos la comparación. En el siguiente caso obtenemos: ```r set.seed(912) obs_dif <- simular_serie(500, lambda = 3, ac = 0.3, x_inicial = last(historicos$obs)) prueba_tbl <- muestrear_ventanas(historicos, obs_dif[10:29, ], n_ventana = 20) ggplot(prueba_tbl$lineup, aes(x = t_0, y = obs)) + geom_line() + facet_wrap(~rep, nrow = 4) + scale_y_log10()
Aunque es imposible estar seguros de que ha ocurrido un cambio, la diferencia de una de las series es muy considerable. Si identificamos los datos correctos, la probabilidad de que hayamos señalado la nueva serie "sobreinterpretando" fluctuaciones en un proceso que sigue comportándose normalente es 0.05 - relativamente baja. Detectar los datos diferentes es evidencia en contra de que el sistema sigue funcionando de la misma manera que antes.
Observaciones y terminología:
-
Llamamos hipótesis nula a la hipótesis de que los nuevos datos son producidos bajo las mismas condiciones que los datos de control o de referencia.
-
Si no escogemos la gráfica de los nuevos datos, nuestra conclusión es que la prueba no aporta evidencia en contra de la hipótesis nula.
-
Si escogemos la gráfica correcta, nuestra conclusión es que la prueba aporta evidencia en contra de la hipótesis nula.
¿Qué tan fuerte es la evidencia, en caso de que descubrimos los datos no nulos?
-
Cuando el número de paneles es más grande y detectamos los datos, la evidencia es más alta en contra de la nula. Decimos que el nivel de significancia de la prueba es la probabilidad de seleccionar a los datos correctos cuando la hipótesis nula es cierta (el sistema no ha cambiado). En el caso de 20 paneles, la significancia es de 1/20 = 0.05. Cuando detectamos los datos nuevos, niveles de significancia más bajos implican más evidencia en contra de la nula.
-
Si acertamos, y la diferencia es más notoria y fue muy fácil detectar la gráfica diferente (pues sus diferencias son más extremas), esto también sugiere más evidencia en contra de la hipótesis nula.
-
Finalmente, esta prueba rara vez (o nunca) nos da seguridad completa acerca de ninguna conclusión, aún cuando hiciéramos muchos páneles.
Comparando distribuciones {-}
Ahora intentamos un ejemplo más típico.
Supongamos tenemos muestras para tres grupos a, b y c, que quiere decir
que dentro de cada grupo, el proceso e selección de los elementos se hace
de manera al azar y de manera simétrica (por ejemplo cada elemento tiene a misma probabiidad de ser seleccionado,
y las extracciones se hacen de manera independiente.)
Queremos comparar las distribuciones de los datos obtenidos para cada grupo.
Quizá la pregunta detrás de esta
comparación es: el grupo de clientes b recibió una promoción especial. ¿Están gastando
más? La medición que comparamos es el gasto de los clientes.
set.seed(8) pob_tab <- tibble(id = 1:2000, x = rgamma(2000, 4, 1), grupo = sample(c("a","b", "c"), 2000, prob = c(4,2,1), replace = T)) muestra_tab <- pob_tab %>% sample_n(125) g_1 <- ggplot(muestra_tab, aes(x = grupo, y = x)) + geom_boxplot(outlier.alpha = 0) + geom_jitter(alpha = 0.3) + coord_flip() + labs(subtitle = "Muestra") g_1
En la muestra observamos diferencias entre los grupos. Pero notamos adicionalmente que hay mucha variación dentro de cada grupo. Nos podríamos preguntar entonces si las diferencias que observamos se deben variación muestral, por ejemplo.
Podemos construir ahora una hipótesis nula, que establece que las observaciones provienen de una población similar:
- Las tres poblaciones (a, b, c) son prácticamente indistiguibles. En este caso, la variación que observamos se debería a que tenemos información incompleta.
Como en el ejemplo anterior necesitamos construir o obtener una distribución de referencia para comparar qué tan extremos o diferentes son los datos que observamos. Esa distribución de referencia debería estar basada en el supuesto de que los grupos producen datos de distribuciones similares.
Si tuvieramos mediciones similares históricas de estos tres grupos, quizá podríamos extraer datos de referencia y comparar, como hicimos en el ejempo anterior. Pero esto es menos común en este tipo de ejemplos.
Prueba de permutaciones y el lineup {-}
Para abordar este problema podemos pensar en usar permutaciones de los grupos de la siguiente forma ([@box78], [@timboot14]):
- Si los grupos producen
datos bajo procesos idénticos, entonces los grupos
a,b,csolo son etiquetas que no contienen información. - Podríamos permutar al azar las etiquetas y observar nuevamente la gráfica de caja y brazos por grupos.
- Si la hipótesis nula es cierta (grupos idénticos), esta es una muestra tan verosímil como la que obtuvimos.
- Así que podemos construir datos de referencia permutando las etiquetas de los grupos al azar, y observando la variación que ocurre.
- Si la hipótesis nula es cercana a ser cierta, no deberíamos de poder distinguir fácilmente los datos observados de los producidos con las permutaciones al azar.
Vamos a intentar esto, por ejemplo usando una gráfica de cuantiles simplificada. Hacemos un lineup, o una rueda de sospechosos (usamos el paquete [@nullabor], ver [@lineup]), donde 19 de los acusados son generados mediante permutaciones al azar de la variable del grupo, y el culpable (los verdaderos datos) están en una posición escogida al azar. ¿Podemos identificar los datos verdaderos? Para evitar sesgarnos, también ocultamos la etiqueta verdadera.
Usamos una gráfica que muestra los cuantes 0.10, 0.50, 0.90:
set.seed(88) reps <- lineup(null_permute("grupo"), muestra_tab, n = 20) reps_mezcla <- reps %>% mutate(grupo_1 = factor(digest::digest2int(grupo) %% 177)) grafica_cuantiles(reps_mezcla, grupo_1, x) + coord_flip() + facet_wrap(~.sample, ncol = 5) + ylab("x") + labs(caption = "Mediana y percentiles 10% y 90%")+ geom_point(aes(colour = grupo_1))
Y la pregunta que hacemos es ¿podemos distinguir nuestra muestra entre todas las replicaciones producidas con permutaciones?
```{block, type = 'ejercicio'} ¿Dónde están los datos observados? Según tu elección, ¿qué tan diferentes son los datos observados de los datos nulos?
En este ejemplo, es difícil indicar cuáles son los datos. Los grupos tienen distribuciones similares y es factible que las diferencias que observamos se deban a variación muestral. - Si la persona escoge los verdaderos datos, encontramos evidencia en contra de la hipótesis nula (los tres grupos son equivalentes). En algunos contextos, se dice que los datos son *significativamente diferentes* al nivel 0.05. Esto es evidencia en contra de que los datos se producen de manera homogénea, independientemente del grupo. - Si la persona escoge uno de los datos permutados, no encontramos evidencia en contra de que los tres grupos producen datos con distribuciones similares. ## Comparaciones usando *lineup* (continuación) {-} Repitimos el ejemplo para otra muestra (en este ejemplo el proceso generador de datos es diferente para el grupo `b`): ```r set.seed(72) muestra_tab <- pob_tab %>% sample_n(90) %>% mutate(x = ifelse(grupo == "b", 1.8 * x + 1, x)) g_1 <- ggplot(muestra_tab, aes(x = grupo, y = x)) + geom_boxplot(outlier.alpha = 0) + geom_jitter(alpha = 0.3) + coord_flip() + ylim(c(0, 20)) + labs(subtitle = "Muestra") g_2 <- ggplot(pob_tab, aes(x= grupo, y = x)) + geom_boxplot(outlier.alpha = 0) + coord_flip() + ylim(c(0, 20)) + labs(subtitle = "Población") g_1
Hacemos primero la prueba del lineup:
set.seed(121) reps <- lineup(null_permute("grupo"), muestra_tab, n = 20) grafica_cuantiles(reps %>% mutate(grupo_escondido = factor(digest::digest2int(grupo) %% 177)), grupo_escondido, x) + facet_wrap(~.sample) + ylab("x") + coord_flip() + geom_point(aes(colour = grupo_escondido))
Podemos distinguir más o menos claramente que está localizada en valores más altos y tiene mayor dispersión. En este caso, como en general podemos identificar los datos, obtenemos evidencia en contra de que los tres grupos tienen distribuciones iguales.
Estos ejemplos siguen la idea de inferencia visual propuestas en
[@lineup], [@graphical-tests] e implementadas en R en el paquete lineup. Son
pruebas muy flexibles y estadísticamente rigurosas.
Prueba de permutaciones para proporciones {-}
Veremos otro ejemplo donde podemos hacer más concreta la idea de distribución nula o de referencia usando pruebas de permutaciones. Supongamos que con nuestra muestra de tomadores de té, queremos probar la siguiente hipótesis nula:
- Los tomadores de té en bolsas exclusivamente usan azúcar más a tasas simillares que los tomadores de té suelto (que pueden o no también tomar té en bolsita).
Los datos que obtuvimos en nuestra encuesta, en conteos, son:
tea <- read_csv(("data/tea.csv")) te <- tea %>% select(how, price, sugar)
te_azucar <- tea %>% select(how, sugar) %>% mutate(how = ifelse(how == "tea bag", "bolsa_exclusivo", "suelto o bolsa")) te_azucar %>% count(how, sugar) %>% pivot_wider(names_from = how, values_from = n) %>% formatear_tabla()
Y en proporciones tenemos que:
prop_azucar <- te_azucar %>% count(how, sugar) %>% group_by(how) %>% mutate(prop = n / sum(n), n = sum(n)) %>% filter(sugar == "sugar") %>% select(how, prop_azucar = prop, n) %>% mutate(prop_azucar = round(prop_azucar,2)) prop_azucar %>% formatear_tabla()
Pero distintas muestras podrían haber dado distintos resultados. Nos preguntamos qué tan fuerte es la evidencia en contra de que en realidad los dos grupos de personas usan azúcar en proporciones similares, y la diferencia que vemos se puede atribuir a variación muestral.
En este ejemplo, podemos usar una estadística de prueba numérica, por ejemplo, la diferencia entre las dos proporciones:
$$\hat p_1 - \hat p_2,$$
(tomadores de té en bolsa solamente vs. suelto y bolsa). El proceso sería entonces:
- La hipótesis nula es que los dos grupos tienen distribuciones iguales. Este caso quiere decir que en la población, tomadores de té solo en bolsa usan azúcar a las mismas tasas que tomadores de suelto o bolsas.
- Bajo nuestra hipótesis nula (proporciones iguales), producimos una cantidad grande (por ejemplo 10 mil o más) de muestras permutando las etiquetas de los grupos.
- Evaluamos nuestra estadística de prueba en cada una de las muestras permutadas.
- El conjunto de valores obtenidos nos da nuestra distribución de referencia (ya no estamos limitados a 20 replicaciones como en las pruebas gráficas).
- Y la pregunta clave es: ¿el valor de la estadística en nuestra muestra es extrema en comparación a la distribución de referencia?
dif_obs <- te_azucar %>% mutate(usa_azucar = as.numeric(sugar == "sugar")) %>% group_by(how) %>% summarise(prop_azucar = mean(usa_azucar), .groups = 'drop') %>% pivot_wider(names_from = how, values_from = prop_azucar) %>% mutate(diferencia_prop = bolsa_exclusivo - `suelto o bolsa`) %>% pull(diferencia_prop)
La diferencia observada es:
dif_obs %>% round(3)
Ahora construimos nuestra distribución nula o de referencia:
reps <- lineup(null_permute("how"), te_azucar, n = 10000) valores_ref <- reps %>% mutate(usa_azucar = as.numeric(sugar == "sugar")) %>% group_by(.sample, how) %>% summarise(prop_azucar = mean(usa_azucar), .groups = 'drop') %>% pivot_wider(names_from = how, values_from = prop_azucar) %>% mutate(diferencia = bolsa_exclusivo - `suelto o bolsa`)
Y graficamos nuestros resultados (con un histograma y una gráfica de cuantiles, por ejemplo). la estadística evaluada un cada una de nuestras muestras permutadas:
g_1 <- ggplot(valores_ref, aes(sample = diferencia)) + geom_qq(distribution = stats::qunif) + xlab("f") + ylab("diferencia") + labs(subtitle = "Distribución nula o de referencia") g_2 <- ggplot(valores_ref, aes(x = diferencia)) + geom_histogram(binwidth = 0.04) + coord_flip() + xlab("") + labs(subtitle = " ") g_1 + g_2
Este es el rango de fluctuación usual para nuestra estadística bajo la
hipótesis de que los dos grupos de tomadores de té consumen té a la misma tasa.
El valor que obtuvimos en nuestros datos es: r round(dif_obs, 2).
Misimo que no es un valor extremo en la distribución de referencia que vimos arriba. Ésta
muestra no aporta mucha evidencia en contra de que los grupos tienen distribuciones similares.
Podemos graficar otra vez marcando el valor de referencia:
# Función de distribución acumulada (inverso de función de cuantiles) dist_perm <- ecdf(valores_ref$diferencia) # Calculamos el percentil del valor observado percentil_obs <- dist_perm(dif_obs)
g_1 <- ggplot(valores_ref, aes(sample = diferencia)) + geom_qq(distribution = stats::qunif) + xlab("f") + ylab("diferencia") + labs(subtitle = "Distribución nula o de referencia") + geom_hline(yintercept = dif_obs, colour = "red") + annotate("text", x = 0.3, y = dif_obs - 0.05, label = "diferencia observada", colour = "red") g_2 <- ggplot(valores_ref, aes(x = diferencia)) + geom_histogram(binwidth = 0.04) + coord_flip() + xlab("") + labs(subtitle = " ") + geom_vline(xintercept = dif_obs, colour = "red") + annotate("text", x = dif_obs, y = N_rep * .3, label = percentil_obs,vjust = -0.2, colour = "red") g_1 + g_2
Y vemos que es un valor algo (pero no muy) extremo en la distribución de referencia que vimos arriba: esta muestra no aporta una gran cantidad de evidencia en contra de que los grupos tienen distribuciones similares, que en este caso significa que los dos grupos usan azúcar a tasas similares. Es decir, sobre la hipótesis $$H_0: p_1 = p_2,$$ o bien, $$H_0: p_1 - p_2 = 0.$$
Pruebas de hipótesis tradicionales {-}
Comencemos recordando la definición de parámetro y estadística.
```{block, type='mathblock'} Definición. Un parámetro es una característica (numérica) de una población o de una distribución de probabilidad. Usualmente denotado por $\theta \in \mathbb{R},$ o por $\theta \in \mathbb{R}^p.$ Una estadística es una característica (numérica) de los datos. Usualmente denotado por $\hat \theta.$
Cualquier función de un parámetro es también un parámetro $\varphi = h(\theta),$ y cualquier función
de una estadística es también una estadística $\hat \varphi = h(\hat \theta).$ Cuando la estadística se calcula
de una muestra aleatoria ($T(X),$ para $X_i \sim \pi_x$ para $i = 1, \ldots, n$), es por consiguiente aleatoria y es por tanto una
variable aleatoria ($T \sim \pi_T$).
* Por ejemplo $\mu$ y $\sigma$ son parámetros de la distribución normal con
función de densidad $\pi(x) = (1/\sqrt{2\pi}\sigma)e^{(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$.
La varianza $\sigma^2$, y el coeficiente de variación (cociente de *señal a ruido*) $\mu/\sigma$ también
son parámetros.
* Si $X_1, \ldots ,X_n$ son una muestra aleatoria, entonces la media
$\bar{X}=\frac1n\sum_i X_i$ es una estadística.
Ahora podemos pasar a las definiciones correspondientes a pruebas de hipótesis
(o pruebas de significancia).
```{block, type='mathblock'}
**Definición.** Denotamos por $H_0$ a la *hipótesis nula* la cual usualmente
tratamos como la afirmación del *status quo.*
La hipótesis alternativa la denotamos por $H_1$ y representa el supuesto que
está a prueba y para el cual buscamos evidencia en los datos.
```{block, type='mathblock'} Definición. La hipótesis normalmente se plantea en términos de un parámetro ($\theta\in\mathbb{R}$) o conjunto de parámetros ($\theta\in\mathbb{R}^p$) de la distribución de interés (por ejemplo media, moda, varianza). Para una hipótesis nula del estilo $H_0: \theta = \theta_0,$ la hipótesis a contrastar se puede denominar como:
- Hipótesis alternativa de una cola $H_1: \theta \gt \theta_0$
- Hipótesis alternativa de dos colas $H_1: \theta \neq \theta_0$
En el ejemplo anterior planteamos hipótesis nula (proporciones iguales) e
hipótesis alternativa que la proporción de tomadores de te suelto que usan
azúcar en menor, esto corresponde a una hipótesis alternativa a dos colas:
$H_0: p_1 = p_2$, y $H_1:p_1 > p_2$.
```{block, type='mathblock'}
**Definición.** Una *estadística de prueba* es una función numérica de los datos
cuyo valor determina el resultado de la prueba. La función usualmente es
denotada por $T(\bf X)$ donde $\bf X$ representa los datos como variable
aleatoria. Por ejemplo,
$T = T(X_1, \ldots, X_n)$ si sólo tenemos una muestra, o por
$T = T(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_m)$ en el caso de tener dos muestras. Al
evaluar la prueba para un conjunto de datos dado, $x$, ésta se denomina
*estadística de prueba observada,* $t = T(x).$
La estadística de prueba correspondiente al ejemplo es $T = \hat p_1 - \hat p_2.$
```{block, type='mathblock'} Definición. El valor p es la probabilidad de que bajo la hipótesis nula los datos generen un valor tan extremo como la estadística de prueba observada. Por ejemplo, si consideramos la hipótesis nula admite valores grandes, el valor p se calcula como $P(T \geq t).$
En el ejemplo de tomadores de té: el valor *p* lo calculamos usando el percentil donde nuestra observación cae en la distribución generada por las permutación (valor *p* de una cola). Por otro lado, podemos calcular: - **Valor p de dos colas**: Si la hipótesis nula es cierta, ¿cuál es la **probabilidad** de observar una diferencia **tan extrema o más extrema de lo que observamos**? Considerando este caso interpretamos *extrema* como qué tan lejos cae del centro de masa de la distribución. De tal orma que podemos calcular el valor *p* como sigue. A partir del valor observado, consideramos cuál dato es menor: la probabilidad bajo lo hipótesis nula de observar una diferencia mayor de la que observamos, o la probabilidad de observar una diferencia menor a la que observamos. Tomamos el mínimo y multiplicamos por dos [@timboot14]: ```r 2 * min(dist_perm(dif_obs), (1 - dist_perm(dif_obs)))
Este valor p se considera como evidencia moderada en contra de la hipótesis nula. Valores p chicos (observaciones más extremas en comparación con la referencia) aportan más evidencia en contra de la hipótesis nula, y valores más grandes aportan menos evidencia en contra.
```{block, type='mathblock'} Definición. Un resultado es estadisticamente significativo si tiene muy baja probabilidad de suceder al azar.
Entre más pequeño requiramos un valor *p* oara declarar un resultado
estadísticamente significativo, somos *más conservadores*.
Las pruebas de hipótesis con frecuencia inician contestando una pregunta más
general que los valores *p*: ¿Cuál es la distribución de la estadística de
prueba cuando no hay un efecto real?
```{block, type='mathblock'}
**Definición.** La **distribución nula** es la distribución de la estadística de
prueba si la hipótesis nula es cierta.
En ocasiones también nos referimos a ella como la distribución de referencia pues estamos comparando la estadística de prueba observada a su referencia para determinar que tan inusual es.
En el ejemplo de tomadores de té aproximamos la distribución nula (y los valores p) con simulación; sin embargo, para algunas estadísticas hay métodos exactos.
En particular, usamos el método de pruebas de permutación. Para dicha prueba el algoritmo para en el caso de dos grupos sería como sigue:
```{block, type='mathblock'} Prueba de permutación para dos muestras
Supongamos que tenemos m observaciones de una población y n de otra.
- Combina los
m+nvalores. - Repite:
- Obtén un remuestra de tamaño
msin reemplazo del total. - Usa las
nobservaciones restantes para obtener la otra muestra. - Calcula la estadística de prueba (que compara las muestras).
- Calcula el valor p como la fracción de las veces que la estadística sobrepasó la estadística observada, multiplica por 2 para una prueba de dos lados.
La distribución de la estadística a lo largo de las remuestras de permutación es la **distribución de permutación**. Ésta puede ser exacta, si se calcula exhaustivamente (como cuando tenemos pocas observaciones) o aproximada (cuando enlistar todas las posible combinaciones es prohibitivo). ## Tomadores de té (continuación) {-} Ahora hacemos una prueba de permutaciones para otro par de proporciones utilizando el mismo método. La hipótesis nula ahora es: - Los tomadores de té Earl Gray usan azúcar a una tasa similar a los tomadores de té negro. Los datos que obtuvimos en nuestra encuesta se muestran en la siguiente tabla: ```r set.seed(23) te_azucar <- tea %>% select(Tea, sugar) %>% filter(Tea != "green") te_azucar %>% count(Tea, sugar) %>% pivot_wider(names_from = Tea, values_from = n) %>% formatear_tabla()
Y en porcentajes tenemos que:
prop_azucar <- te_azucar %>% count(Tea, sugar) %>% group_by(Tea) %>% mutate(prop = 100 * n / sum(n), n = sum(n)) %>% filter(sugar == "sugar") %>% select(Tea, prop_azucar = prop, n) %>% mutate('% usa azúcar' = round(prop_azucar)) %>% select(-prop_azucar) prop_azucar %>% formatear_tabla
Pero distintas muestras podrían haber dado distintos resultados. Nos preguntamos qué tan fuerte es la evidencia en contra de que en realidad los dos grupos de personas usan azúcar en proporciones similares considerando que la diferencia que vemos se puede atribuir a variación muestral.
Escribimos la función que calcula diferencias para cada muestra:
calc_diferencia_2 <- function(datos){ datos %>% mutate(usa_azucar = as.numeric(sugar == "sugar")) %>% group_by(Tea) %>% summarise(prop_azucar = mean(usa_azucar), .groups = 'drop') %>% pivot_wider(names_from = Tea, values_from = prop_azucar) %>% mutate(diferencia_prop = `Earl Grey` - black) %>% pull(diferencia_prop) }
La diferencia observada es:
dif_obs <- calc_diferencia_2(te_azucar) dif_obs %>% round(3)
Ahora construimos nuestra distribución nula o de referencia:
set.seed(2) reps <- lineup(null_permute("Tea"), te_azucar, n = N_rep) valores_ref <- reps %>% group_by(.sample) %>% nest() %>% mutate(diferencia = lapply(data, calc_diferencia_2)) %>% unnest(diferencia)
Y podemos graficar la distribución de referencia otra vez marcando el valor observado
# Función de distribución acumulada (inverso de función de cuantiles) dist_perm <- ecdf(valores_ref$diferencia) # Calculamos el percentil del valor observado percentil_obs <- dist_perm(dif_obs)
g_1 <- ggplot(valores_ref, aes(sample = diferencia)) + geom_qq(distribution = stats::qunif) + xlab("f") + ylab("diferencia") + labs(subtitle = "Distribución nula o de referencia") + geom_hline(yintercept = dif_obs, colour = "red") + annotate("text", x = 0.3, y = dif_obs - 0.02, label = "diferencia observada", colour = "red") g_2 <- ggplot(valores_ref, aes(x = diferencia)) + geom_histogram(binwidth = 0.04) + coord_flip() + xlab("") + labs(subtitle = "") + geom_vline(xintercept = dif_obs, colour = "red") + annotate("text", x = dif_obs, y = N_rep * .3, label = percentil_obs,vjust = 1, colour = "red") g_1 + g_2
En este caso, la evidencia es muy fuerte en contra de la hipótesis nula, pues el resultado que obtuvimos es muy extremo en relación a la distribución de referencia. El valor p es cercano a 0.
```{block, type = 'ejercicio'}
* Haz una prueba de permutaciones para diferencia de medias para comparar la
propina en cena vs en comidas.
* Grafica la distribución de referencia.
* Calcula el valor p (dos colas).
## Pruebas de permutación: problemas en implementación. {-}
Hasta ahora nos hemos centrado en ejemplos de diferencias en medias. Podemos
extender las pruebas de permutación a $\bar{X}$ (la media de la primera muestra),
$n\bar{X}$ (la suma de las observaciones en la primera muestra), y más.
```{block, type='mathblock'}
**Teorema.** En pruebas de permutación, si dos estadísticas de prueba $T_1$ y
$T_2$ están relacionadas por una función estríctamente creciente,
$T_1(X^*)=f(T_2(X^*))$ donde $X^*$ es una remuestra de permutación de los datos
originales, entonces los valores *p* serán los mismos en las pruebas de
permutación.
Agregar uno al numerador y denominador. Cuando se calcula el valor p en la implementación de muestreo, podemos agregar un uno al numerador y denominador. Esto corresponde a incluir los datos como una remuestra adicional y sirve para evitar reportar el valor p $= 0,$ que es imposible pues siempre hay una remuestra con un valor al menos tan extremo como los datos observados (los datos mismos).
Muestras con reemplazo de la Distribución Nula. En la implementación de muestreo, no nos aseguramos que las remuestras sean únicas. Sería más acertado tomar muestras sin reemplazo, sin embargo, el costo computacional es demasiado alto. Por simplicidad consideramos muestras con reemplazo del total de $$m+n\choose n$$ posibles remuestras. Por lo tanto, al remuestrar obtenemos una muestra de la distribución nula.
Entre más muestras, más exactitud. Hemos usado $B = 10^3$ remuestras (N_rep en el código),
en general entre más remuestras tendremos una mejor estimación del valor p. Si el
verdadero valor es $p$ el estimado tendrá una varianza aproximadamente de
$p(1- p)/B$ donde $B$ es el número de remuestras generadas.
Observación. Así como los $n$ datos originales son una muestra de la población, también las $B$ remuestras de la estadística son una muestra de una población, en este caso de la distribución nula.
La pruebas de permutaciones son más útiles cuando nuestra hipótesis nula se refiere que la distribución de los grupos son muy similares, o la independencia entre observaciones y grupo. Esto también aplica cuando queremos probar por ejemplo, que una variable numérica $Y$ es independiente de $X.$
-
Hay algunas hipótesis que no se pueden probar con este método, como por ejemplo, las que se refieren a una sola muestra: ¿los datos son consistentes con que su media es igual a 5?
-
Adicionalmente, en algunas ocasiones queremos probar aspectos más específicos de las diferencias: como ¿son iguales las medias o medianas de dos grupos de datos? ¿Tienen dispersión similar?
Las pruebas de permutaciones no están tan perfectamente adaptadas a este problema, pues prueban todos los aspectos de las distribuciones que se comparan, aún cuando escojamos una estadística particular que pretende medir. Por ejemplo, cuando trabajamos con la diferencia de medias. Eso quiere decir que podemos rechazar igualdad de medias, por ejemplo, cuando en realidad otra característica de las distribuciones es la que difiere mucho en las poblaciones.
En algunas referencias (ver [@Chihara], [@Efron]) se argumenta que de todas formas las pruebas de permutaciones son relativamente robustas a esta desadaptación. Un caso excepcional, por ejemplo, es cuando las poblaciones que comparamos resultan tener dispersión extremadamente distinta, y adicionalmente los tamaños de muestra de los grupos son muy desiguales (otra vez, ver ejemplos en [@Chihara]).
Ejemplo: tiempos de fusión {-}
Veamos el siguiente ejemplo, que es un experimento donde se midió el tiempo que tardan distintas personas en fusionar un estereograma para ver una imagen 3D. (@cleveland93).
Existen dos condiciones: en una se dio indicaciones de qué figura tenían que buscar (VV) y en otra no se dio esa indicación. ¿Las instrucciones verbales ayudan a fusionar más rápido el estereograma?
fusion <- read_delim("./data/fusion_time.txt", delim = " ", trim_ws = TRUE) ggplot(fusion, aes(x = nv.vv, y = time)) + geom_boxplot() + geom_jitter()
La situación es la siguiente: considerando que hay mucha variación en el tiempo de fusión dentro de cada tratamiento, necesitamos calificar la evidencia de nuestra conclusión (el tiempo de fusión se reduce con información verbal).
Podemos usar una prueba de permutaciones, esta vez justificándola por el hecho de que los tratamientos se asignan al azar: si los tratamientos son indistinguibles, entonces las etiquetas de los grupos son sólo etiquetas, y permutarlas daría muestras igualmente verosímiles.
En este caso, compararemos gráficas de cuantiles de los datos con los producidos por permutaciones (transformamos los datos pues en este caso es más apropiado una comparación multiplicativa):
set.seed(113) reps <- lineup(null_permute("nv.vv"), fusion, 20) ggplot(reps, aes(sample = time, colour = nv.vv)) + geom_qq(distribution = stats::qunif, size = 0.5) + facet_wrap(~.sample) + scale_y_log10() + scale_x_continuous(breaks = c(0, 0.5, 1))
```{block, type = 'ejercicio'} ¿Podemos identificar los datos? En general, muy frecuentemente las personas identifican los datos correctamente, lo que muestra evidencia considerable de que la instrucción verbal altera los tiempos de respuesta de los partipantes, y en este caso ayuda a reducir el tiempo de fusión de los estereogramas.
## Ejemplo: tiempos de fusión (continuación) {-} Podemos usar las pruebas de permutaciones para distintos de tipos de estadísticas: medianas, medias, comparar dispersión usando rangos intercuartiles o varianzas, etc. Regresamos a los tiempos de fusión. Podemos hacer una prueba de permutaciones para la diferencia de las medias o medianas, por ejemplo. En este ejemplo usaremos una medida de centralidad un poco diferente, como ilustración: el promedio de los cuartiles superior e inferior de las dos distribuciones. Usaremos el cociente de estas dos cantidades para medir su diferencia ```r # esta función hace permutaciones y calcula la diferencia para cada una permutaciones_est <- function(datos, variable, calc_diferencia, n = 1000){ # calcular estadística para cada grupo permutar <- function(variable){ sample(variable, length(variable)) } tbl_perms <- tibble(.sample = seq(1, n-1, 1)) %>% mutate(diferencia = map_dbl(.sample, ~ datos %>% mutate({{variable}}:= permutar({{variable}})) %>% calc_diferencia)) bind_rows(tbl_perms, tibble(.sample = n, diferencia = calc_diferencia(datos))) } stat_fusion <- function(x){ (quantile(x, 0.75) + quantile(x, 0.25))/2 } calc_fusion <- function(stat_fusion){ fun <- function(datos){ datos %>% group_by(nv.vv) %>% summarise(est = stat_fusion(time), .groups = 'drop') %>% pivot_wider(names_from = nv.vv, values_from = est) %>% mutate(dif = VV / NV ) %>% pull(dif) } fun }
calc_cociente <- calc_fusion(stat_fusion) dif_obs <- calc_cociente(fusion) # permutar valores_ref <- permutaciones_est(fusion, nv.vv, calc_cociente, n = N_rep) dist_perm_nv <- ecdf(valores_ref$diferencia) cuantil_obs <- dist_perm_nv(dif_obs)
g_1 <- ggplot(valores_ref, aes(sample = diferencia)) + geom_qq(distribution = stats::qunif) + xlab("f") + ylab("Cociente media intercuartil") + labs(subtitle = "Distribución nula o de referencia") + geom_hline(yintercept = dif_obs, colour = "red") + annotate("text", x = 0.3, y = dif_obs - 0.05, label = "diferencia observada", colour = "red") g_2 <- ggplot(valores_ref, aes(x = diferencia)) + geom_histogram(binwidth = 0.04) + coord_flip() + xlab("") + labs(subtitle = " ") + geom_vline(xintercept = dif_obs, colour = "red") + annotate("text", x = dif_obs, y = N_rep * .3, label = cuantil_obs,vjust = 0, colour = "red") g_1 + g_2
Y el valor p de dos colas es
dist_perm_nv <- ecdf(valores_ref$diferencia) 2 * min(dist_perm_nv(dif_obs), 1 - dist_perm_nv(dif_obs))
Lo que muestra evidencia considerable, aunque no muy fuerte, de que la instrucción verbal ayuda a reducir el tiempo de fusión de los estereogramas: la caja del diagrama de caja y brazos para el grupo VV está encogida por un factor menor a 1.
Separación de grupos {-}
Este ejemplo tomado de [@cookwasps] (tanto la idea como el código). La pregunta que se aborda en ese estudio es:
- Existen métodos de clasificación (supervisados o no supervisados) para formar grupos en términos de variables que describen a los individuos
- Estos métodos (análisis discriminante, o
k-means, por ejemplo), pretenden formar grupos compactos, bien separados entre ellos. Cuando aplicamos el método, obtenemos clasificadores basados en las variables de entrada. - La pregunta es: ¿los grupos resultantes son producto de patrones que se generalizan a la población, o capitalizaron en variación aleatoria para formarse?
- Especialmente cuando tenemos muchas mediciones de los individuos, y una muestra relativamente chica, Es relativamente fácil encontrar combinaciones de variables que separan los grupos, aunque estas combinaciones y diferencias están basadas en ruido y no generalizan a la población.
Como muestran en [@cookwasps], el lineup es útil para juzgar si tenemos evidencia en contra de que los grupos en realidad son iguales, y usamos variación muestral para separarlos.
Avispas (opcional) {-}
En el siguiente ejemplo, tenemos 4 grupos de avispas (50 individuos en total), y para cada individuo se miden expresiones de 42 genes distintos. La pregunta es: ¿Podemos separar a los grupos de avispas dependiendo de sus mediciones?
En este se usó análisis discriminante (LDA) para buscar proyecciones de los datos en dimensión baja de forma que los grupos sean lo más compactos y separados posibles.
Para probar qué tan bien funciona este método, podemos hacer una prueba de permutación, aplicamos LDA y observamos los resultados.
# código del paquete nullabor data(wasps) wasp.lda <- MASS::lda(Group~., data=wasps[,-1]) wasp.ld <- predict(wasp.lda, dimen=2)$x true <- data.frame(wasp.ld, Group=wasps$Group) wasp.sim <- data.frame(LD1=NULL, LD2=NULL, Group=NULL, .n=NULL) for (i in 1:19) { x <- wasps x$Group <- sample(x$Group) x.lda <- MASS::lda(Group~., data=x[,-1]) x.ld <- predict(x.lda, dimen=2)$x sim <- data.frame(x.ld, Group=x$Group, .n=i) wasp.sim <- rbind(wasp.sim, sim) } pos <- sample(1:20, 1) d <- lineup(true=true, samples=wasp.sim, pos=pos) ggplot(d, aes(x=LD1, y=LD2, colour=Group)) + facet_wrap(~.sample, ncol=5) + geom_point() + theme(aspect.ratio=1)
Y vemos que incluso permutando los grupos, es generalmente posible separarlos en grupos bien definidos: la búsqueda es suficientemente agresiva para encontrar combinaciones lineales que los separan. Que no podamos distinguir los datos verdaderos de las replicaciones nulas indica que este método difícilmente puede servir para separar los grupos claramente.
Otro enfoque sería separar los datos en una muestra de entrenamiento y una de prueba (que discutiremos en la última sesión). Aplicamos el procedimiento a la muestra de entrenamiento y luego vemos qué pasa con los datos de prueba:
set.seed(8) wasps_1 <- wasps %>% mutate(u = runif(nrow(wasps), 0, 1)) wasps_entrena <- wasps_1 %>% filter(u <= 0.8) wasps_prueba <- wasps_1 %>% filter(u > 0.8) wasp.lda <- MASS::lda(Group ~ ., data=wasps_entrena[,-1]) wasp_ld_entrena <- predict(wasp.lda, dimen=2)$x %>% as_tibble(.name_repair = "universal") %>% mutate(tipo = "entrenamiento") %>% mutate(grupo = wasps_entrena$Group) wasp_ld_prueba <- predict(wasp.lda, newdata = wasps_prueba, dimen=2)$x %>% as_tibble(.name_repair = "universal") %>% mutate(tipo = "prueba")%>% mutate(grupo = wasps_prueba$Group) wasp_lda <- bind_rows(wasp_ld_entrena, wasp_ld_prueba) ggplot(wasp_lda, aes(x = LD1, y = LD2, colour = grupo)) + geom_point(size = 3) + facet_wrap(~tipo)
Aunque esta separación de datos es menos efectiva en este ejemplo por la muestra chica, podemos ver que la separación lograda en los datos de entrenamiento probablemente se debe a variación muestral.
La "crisis de replicabilidad" {-}
Recientemente [@falsefindings] se ha reconocido en campos como la psicología la crisis de replicabilidad. Varios estudios que recibieron mucha publicidad inicialmente no han podido ser replicados posteriormente por otros investigadores. Por ejemplo:
- Hacer poses poderosas produce cambios fisiológicos que mejoran nuestro desempeño en ciertas tareas.
- Mostrar palabras relacionadas con "viejo" hacen que las personas caminen más lento (efectos de priming).
En todos estos casos, el argumento de la evidencia de estos efectos fue respaldada por una prueba de hipótesis nula con un valor p menor a 0.05. La razón es que ese es el estándar de publicación seguido por varias áreas y revistas arbitradas. La tasa de no replicabilidad parece ser mucho más alta (al menos la mitad o más, según algunas fuentes como la señalada arriba) que la sugerida por la tasa de falsos positivos (menos de 5\%).
Este problema de replicabilidad parece ser más frecuente cuando:
- Se trata de estudios de potencia baja: mediciones ruidosas y tamaños de muestra chicos.
- El plan de análisis no está claramente definido desde un principio (lo cual es difícil cuando se están investigando "fenómenos no estudiados antes").
¿A qué se atribuye esta crisis de replicabilidad?
El jardín de los senderos que se bifurcan {-}
Aunque haya algunos ejemplos de manipulaciones conscientes ---e incluso, en menos casos, malintencionadas--- para obtener resultados publicables o significativos (p-hacking), como vimos en ejemplos anteriores, hay varias decisiones, todas razonables, que podemos tomar cuando estamos buscando las comparaciones correctas. Algunas pueden ser:
- Transformar los datos (tomar o no logaritmos, u otra transformación).
- Editar datos atípicos (razonable si los equipos pueden fallar, o hay errores de captura, por ejemplo).
- Distintas maneras de interpretar los criterios de inclusión de un estudio (por ejemplo, algunos participantes mostraron tener gripa, o revelaron que durmieron muy poco la noche anterior, etc. ¿los dejamos o los quitamos?).
Dado un conjunto de datos, las justificaciones de las decisiones que se toman en cada paso son razonables, pero con datos distintos las decisiones podrían ser diferentes. Este es el jardín de los senderos que se bifurcan (ver referencia en Gelman), que invalida en parte el uso valores p como criterio de evidencia contra la hipótesis nula.
Esto es exacerbado por:
- Tamaños de muestra chicos y efectos "inestables" que se quieren medir (por ejemplo en psicología).
- El hecho de que el criterio de publicación es obtener un valor $p < 0.05$, y la presión fuerte sobre los investigadores para producir resultados publicables ($p < 0.05$).
- El que estudios o resultados similares que no obtuvieron valores $p$ por debajo del umbral no son publicados o reportados.
Ver por ejemplo el comunicado de la ASA.
Ojo: esas presiones de publicación no sólo ocurre para investigadores en psicología. Cuando trabajamos en problemas de análisis de datos que son de importancia, es común que existan intereses de algunas partes o personas involucradas por algunos resultados u otros (por ejemplo, nuestros clientes de consultoría o clientes internos). Eso puede dañar nuestro trabajo como analistas, y el avance de nuestro equipo. Aunque esas presiones son inevitables, se vuelven manejables cuando hay una relación de confianza entre las partes involucradas.
Ejemplo: decisiones de análisis y valores p {-}
En el ejemplo de datos de fusión, decidimos probar, por ejemplo, el promedio de los cuartiles inferior y superior, lo cual no es una decisión típica pero usamos como ilustración. Ahora intentamos usar distintas mediciones de la diferencia entre los grupos, usando distintas medidas resumen y transformaciones (por ejemplo, con o sin logaritmo). Aquí hay unas 12 combinaciones distintas para hacer el análisis (multiplicadas por criterios de "aceptación de datos en la muestra", que simulamos tomando una submuestra al azar):
calc_fusion <- function(stat_fusion, trans, comparacion){ fun <- function(datos){ datos %>% group_by(nv.vv) %>% summarise(est = stat_fusion({{ trans }}(time)), .groups = 'drop') %>% pivot_wider(names_from = nv.vv, values_from = est) %>% mutate(dif = {{ comparacion }}) %>% pull(dif) } fun } valor_p <- function(datos, variable, calc_diferencia, n = 1000){ # calcular estadística para cada grupo permutar <- function(variable){ sample(variable, length(variable)) } tbl_perms <- tibble(.sample = seq(1, n-1, 1)) %>% mutate(diferencia = map_dbl(.sample, ~ datos %>% mutate({{variable}} := permutar({{variable}})) %>% calc_diferencia)) perms <- bind_rows(tbl_perms, tibble(.sample = n, diferencia = calc_diferencia(datos))) perms_ecdf <- ecdf(perms$diferencia) dif <- calc_diferencia(datos) 2 * min(perms_ecdf(dif), 1- perms_ecdf(dif)) }
set.seed(7272) media_cuartiles <- function(x){ (quantile(x, 0.75) + quantile(x, 0.25))/2 } # nota: usar n=10000 o más, esto solo es para demostración: ejemplo <- list() calc_dif <- calc_fusion(mean, identity, VV - NV) ejemplo$media_dif <- valor_p(fusion %>% sample_frac(0.95), nv.vv, calc_dif, n = N_rep) calc_dif <- calc_fusion(mean, log, VV - NV) ejemplo$media_dif_log <- valor_p(fusion %>% sample_frac(0.95), nv.vv, calc_dif, n = N_rep) calc_dif <- calc_fusion(median, identity, VV / NV) ejemplo$mediana_razon <- valor_p(fusion %>% sample_frac(0.95), nv.vv, calc_dif, n = N_rep) calc_dif <- calc_fusion(media_cuartiles, identity, VV / NV) ejemplo$cuartiles_razon <- valor_p(fusion %>% sample_frac(0.95), nv.vv, calc_dif, n = N_rep)
ejemplo <- read_rds("cache/ejemplo_p_val.rds") ejemplo$media_dif ejemplo$media_dif_log ejemplo$mediana_razon ejemplo$cuartiles_razon
Si existen grados de libertad ---muchas veces necesarios para hacer un análisis exitoso---, entonces los valores p pueden tener poco significado.
Alternativas o soluciones {-}
El primer punto importante es reconocer que la mayor parte de nuestro trabajo es exploratorio (recordemos el proceso complicado del análisis de datos de refinamiento de preguntas). En este tipo de trabajo, reportar valores p puede tener poco sentido, y mucho menos tiene sentido aceptar algo verdadero cuando pasa un umbral de significancia dado.
Nuestro interés principal al hacer análisis es: expresar correctamente, y de manera útil, la incertidumbre asociada a las conclusiones o patrones que mostramos (asociada a variación muestral, por ejemplo) con el objetivo que el proceso de toma de decisiones sea informado. Un resumen de un número (valor p, o el que sea) no puede ser tomado como criterio para tomar una decisión que generalmente es compleja. En la siguiente sección veremos cómo podemos mostrar parte de esa incertidumbre de manera más útil.
Por otra parte, los estudios confirmatorios (donde se reportan valores p) también tienen un lugar. En áreas como la psicología, existen ahora movimientos fuertes en favor de la repetición de estudios prometedores pero donde hay sospecha de grados de libertad del investigador. Este movimiento sugiere dar valor a los estudios exploratorios que no reportan valor p, y posteriormente, si el estudio es de interés, puede intentarse una replicación confirmatoria, con potencia más alta y con planes de análisis predefinidos.
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