In vguillemot/debuter: Le package de la formation DebuteR

knitr::opts_chunk$set(
  collapse = TRUE,
  comment = "#>",
  echo = TRUE
)
library(tidyr)
library(ggplot2)
data("fruits", package = "minidebuter")

Rappels {.columns-2 .smaller}

• Hypothèse nulle $H_0$, c'est l'hypothèse du statu quo
• Hypothèse alternative $H_1$, c'est la situation intéressante ! (signal)
• $\alpha$ : risque de première espèce, rejeter $H_0$ lorsqu'elle est vraie ("erreur de détection")
• $\beta$ : risque de deuxième espèce, ne pas rejeter $H_0$ alors que $H_1$ est vraie ("rater un signal")
• Puissance : $1 - \beta$

Décision / Verité | Non rejet de $H_0$| Rejet $H_0$ -----------------:|:--------------------------:|:--------------------: $H_0$ | Confiance | Erreur de 1ère esp. $H_1$ | Erreur de 2ème esp. | Puissance

Expérience de Chastaing (1958)

Keewee ou Koowoo ?

Les résultats

data.frame(i = 0:10,
           p = dbinom(0:10, 10, 0.5),
           col = rep(c("A", "B"), c(9, 2))) %>%
  ggplot(aes(i, p, fill = col)) +
  geom_col(show.legend = FALSE) +
  theme_minimal() +
  scale_x_continuous(breaks = 0:10) +
  labs(x = "", y = "")

Rappel 1 : variable aléatoire du $\chi^2$

Une variable suivant une loi du khi-deux à $k$ degrés de liberté ($\chi^2(k)$) est la somme des carrés de $k$ variable normales indépendantes :

[ \sum_{i = 1}^k Z_i^2 \sim \chi^2(k) ]

Remarques :

• parfois on note une telle variable $X^2$
• en pratique, ces "carrés" sont souvent des "variances"

Rappel 2 : variable aléatoire de Student

Une variable obtenue en divisant un variable normale par la racine carrée d'une variable du khi-deux (indépendante de la première) elle-même normalisée par son dégré de liberté $d$ suit une loi de Student à $d$ degrés de liberté :

[ \frac{Z}{\sqrt{\displaystyle \frac{1}{d} X}} \sim T(d) ]

En pratique : [ \frac{\text{moyenne}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\text{taille}} } \text{ écart-type}} \sim T(\text{taille} - 1) ]

Rappel 3 : variable aléatoire de Fisher

Le ratio de deux variables indépendantes du khi-deux à $d_1$ et $d_2$ degrés de liberté est une variable aléatoire de Fisher à $d_1$ et $d_2$ degrés de liberté :

[ \displaystyle \frac{X^2_1}{X^2_2} \sim F(d_1, d_2) ]

En pratique : des ratios de variance !

Intermède : Création d'un exemple {.columns-2 .smaller}

qplot(fruits$Energie)
energiequal <- cut(fruits$Energie, 
                c(0, 250, 2000))

qplot(fruits$Eau)
eauqual <- cut(fruits$Eau, 
               c(0, 85, 100))

Table de contingence

Une table de contingence, ou table de comptage, est un tableau croisé (de comptage) entre deux variables qualitatives ou plus.

(tab <- table(energiequal, eauqual))

On peut aussi calculer les proportions

prop.table(tab)

Profils lignes et profils colonnes {.columns-2 .smaller}

Proportions conditionnellement aux lignes :

prop.table(tab, margin = 1)

Proportions conditionnellement aux colonnes :

prop.table(tab, margin = 2)

Comparer des proportions {.columns-2 .smaller}

Avec la fonction prop.test :

prop.test(table(energiequal, eauqual))

Attention, le test des proportions a besoin de données de comptage, pour lui : [ \frac{2}{4} \neq \frac{50}{100} ]

La fonction prop.test {.smaller}

• Accepte des tables de contingences,
• Ou bien deux vecteurs : x pour les "succès", n pour le nombre total,
• Eventuellement un vecteur de proportions de référence p

Un des exemples de la fonction (cf. ?prop.test) :

smokers  <- c( 83, 90, 129, 70 )
patients <- c( 86, 93, 136, 82 )
prop.test(smokers, patients)

Test du "khi-deux"

Avec la fonction chisq.test :

chisq.test(energiequal, eauqual)

La fonction chisq.test {.smaller}

• Accepte deux variables qualitatives,
• Ou une table de contingence

Un des exemples de la fonction (cf. ?chisq.test) :

M <- as.table(rbind(c(762, 327, 468), c(484, 239, 477)))
dimnames(M) <- list(gender = c("F", "M"),
                    party = c("Democrat","Independent", "Republican"))
(Xsq <- chisq.test(M))  # Prints test summary
Xsq$expected   # expected counts under the null

La statistique du test du $\chi^2$

Elle compare les fréquences observées aux fréquences attendues. Les fréquences attendues sont calculées à partir des fréquences marginales sous hypothèse d'indépendance.

[ X^2 = \displaystyle \sum \frac{\left(n_{ij} - \displaystyle \frac{n_{i\cdot} n_{\cdot j}}{n} \right)^2}{\displaystyle \frac{n_{i\cdot} n_{\cdot j}}{n}}, ] avec $n_{ij}$ l'effectif observé, $n_{i\cdot}$ l'effectif marginal ligne, $n_{\cdot j}$ l'effectif marginal colonne et $n$ l'effectif total.

Rappel : quand $A$ et $B$ son indépendants, $P(A\cap B) = P(A)P(B)$.

Test exact de Fisher

Avec la fonction fisher.test :

fisher.test(energiequal, eauqual)

La fonction fisher.test {.smaller}

• Accepte deux variables qualitatives,
• Ou une table de contingence

Un des exemples de la fonction (cf. ?fisher.test) :

Convictions <- matrix(
  c(2, 10, 15, 3), 
  nrow = 2,
  dimnames = list(
    c("Dizygotic", "Monozygotic"),
    c("Convicted", "Not convicted")))
fisher.test(Convictions, alternative = "less")

Comparer des moyennes

Avec la fonction t.test :

t.test(fruits$VitamineC ~ eauqual)

Les formules

Les formules permettent à l'utilisateur de décrire un modèle : [ Y = X_1 + X_2 + X_3 + X_2X_3 + X_3X_4 ] deviendra

  y ~ x1 + x2 * x3 + x3:x4 

Repérez le tilde sur votre clavier, il est très important en R !

Exemple :

  y ~ x + age + sex + SCL:disease 

La fonction t.test {.smaller}

• Accepte une formule,
• Ou bien deux vecteurs contenant respectivement les deux groupes de valeurs à comparer,
• L'argument paired = TRUE pour des données appariées,
• Ou bien un seul vecteur (pour un test sur une moyenne),

Un des exemples de la fonction (cf. ?t.test) :

t.test(extra ~ group, data = sleep)

Equivalent non-paramétrique

L'équivalent non-paramétrique du test de Student est le test de Wilcoxon-Mann-Whitney :

wilcox.test(fruits$VitamineC ~ eauqual)

Remarque sur ces fonctions

L'objet retourné est une liste qui contient (en général) les deux éléments les plus intéressants : statistic et p.value.

Exemple de récupération de la P-value :

res.ttest <- t.test(fruits$VitamineC ~ eauqual)
pval <- res.ttest$p.value

ANOVA

Faire une ANOVA en R n'est pas une mince affaire !

summary(aov(VitamineC ~ groupe, data = fruits))

Et récupérer la P-value est ridiculement difficile :

res <- summary(aov(VitamineC ~ groupe, data = fruits))
res[[1]]$`Pr(>F)`[1]

ANOVA non paramétrique

Et la syntaxe est différente pour l'équivalent non-paramétrique : le test de Kruskal-Wallis :

kruskal.test(fruits$VitamineC, fruits$groupe)

Récupérer la p-valeur s'effectue de la même façon que pour un test de Student.

Corrélation {.smaller}

Avec la fonction cor.test. Exemple :

cor.test(fruits$Eau, fruits$Energie)

La fonction cor.test {.smaller}

• Accepte deux vecteurs x et y de même longueur,
• Permet de tester les trois types de corrélation (Pearson, Sparman et Kendall)

Un des exemples de la fonction (cf. ?cor.test) :

x <- c(44.4, 45.9, 41.9, 53.3, 44.7, 44.1, 50.7, 45.2, 60.1)
y <- c( 2.6,  3.1,  2.5,  5.0,  3.6,  4.0,  5.2,  2.8,  3.8)

cor.test(x, y, method = "kendall", alternative = "greater")

Modèles linéaires {.smaller}

Avec la fonction lm. Exemple :

res.lm <- lm(Energie ~Proteines + Sucres + Fibres + Eau, 
             data = fruits)
summary(res.lm)

Pour aller plus loin

Analyse en composantes principales

Les packages

• FactomineR
• factoextra

Les références :

• le site de François Husson https://husson.github.io/,
• la page sur l'ACP https://husson.github.io/MOOC_AnaDo/ACP.html
• Une référence en anglais par Hervé Abdi

Les modèles linéaires à effets mixte

Les packages

• lme4
• lmerTest
• multcomp

Une référence (parmi d'autres) : Mixed Models with R

vguillemot/debuter documentation built on Oct. 8, 2024, 10:47 p.m.