In rpkgs/hydroTools: Tools for hydrological model

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地表净辐射与温度变化

地表净辐射

净短波辐射$Rsn$

$$ Rsn = Rs (1 - \alpha) $$

净长波辐射$Rln$

假定长波入射辐射为$Rl$。根据==霍尔基夫定律==，对于某一特定波长的电磁波，物体对其吸收率等于发射率。因此，长波辐射中吸收的部分为$\epsilon Rl$，未被吸收（反射出去）的部分为$(1-\epsilon)Rl$： $$ Rl_{in} = Rl \ Rl_{out} = (1 - \epsilon) Rl \ Rln = Rl_{in} + Rl_{out} = \epsilon Rl - \epsilon \sigma T^4 $$ 因此，可以得到净辐射的公式为： $$ \begin{align} Rn &= Rsn + Rln \ &= Rs (1 - \alpha) + \epsilon Rl - \epsilon \sigma T^4 \end{align} $$

地表辐射与温度变化

地表净辐射被划分为感热（sensible heat, 简称$H$）与潜热（latent heat, 简称$\lambda E$）。 $$ Rn - G = H + \lambda E $$ Table 1. 感热与潜热的定义

| | 感热$H$ | 潜热$\lambda E$ | | -------- | ------------------------------------ | ---------------------------------------- | | 定义 | 单位质量的物质，温度升高1°所需的能量 | 单位质量的水，从液态转化为其他所需的能力 | | 公式 | $m_{air} C_p dT$ | $\lambda m_v $ | | 单位体积 | $\rho_{air} C_p dT$ | $\lambda \rho_v$ |

实战应用

数据

当雄通量站，位于西藏自治区当雄高寒草甸，地处91°05’ E、 30°25’ N，海拔为4333 m。气候属于高原性季风气候,具有太阳辐射强、气温低、日较差大，年较差小的特点。 据当雄县气象站40a气象数据：年均气温 1.7℃，年降雨量459.6 mm,日照时数2838 h，年太阳辐射总量 187.9 kcal/cm2 ,年均≥0℃积温1800℃,无霜期仅62 d,从头年 11月至翌年3月有3个月的土地冻结期 。(张冰松, 2009山地学报)

https://fluxnet.org/doi/FLUXNET2015/CN-Dan

案例1：日温度变化

解析地表温度随时间变化。

为简化问题，假设研究区域处于沙漠地区，没有蒸发$E$；同时由于$G$量级较小，也不考虑$G$。

此时地表净辐射公式，可以简化为：

$$ \begin{align} Rn - G &= H + \lambda E \ Rn &= H \ [Rs (1 - \alpha) + \epsilon Rl - \epsilon \sigma T^4 ] ~ dt & = \rho_{air} C_p dT \ \frac{dT}{dt} = \frac{[Rs (1 - \alpha) + \epsilon Rl - \epsilon \sigma T^4 ]}{\rho_{air} C_p} \end{align} $$

$$ y'=a + by^4 \ y = at + 4/5by^5 $$

设$Rs = 200 ~ W/ m^2$，$Rl = 250 ~ W/ m^2$，$\alpha=0.3$, $\epsilon = 0.95$

Rs随时间的变化，Rl随时间的变化

联想与简化：

$$ [a - bx] dt = c dx \ \int [a - bx^4] dt = \int c dx (a - bx^4) t = cx \ x = \frac{at}{bt + c} $$ 为方便求解，将上述公式写成离散形式（==前叉、后叉==）： $$ [Rs (1 - \alpha) + \epsilon Rl - \epsilon \sigma T_t^4 ] ~ \Delta t = \rho_{air} C_p (T_{t+1}-T_t) \ T_{t+1} = T_t + \frac{[Rs (1 - \alpha) + \epsilon (Rl - \sigma T_t^4) ] ~ \Delta t}{\rho_{air} C_p} $$ 其中$t$为时间、$T$为温度。

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