godambe: INVERSE GODAMBE MATRIX
In weightedScores: Weighted Scores Method for Regression Models with Dependent Data
Description
Usage
Arguments
Details
Value
Author(s)
References
See Also
Examples
Description
Inverse Godambe matrix.
Usage
1
2
godambe(param,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,margmodel,link)
godambe.ord(param,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,link)
Arguments
param
The weighted scores estimates of regression and not regression parameters.
WtScMat
A list containing the following components.
omega: The array with the Ω_i,\,i=1,…,n matrices;
delta: The array with the Δ_i,\,i=1,…,n matrices;
X: The array with the X_i,\,i=1,…,n matrices.
xdat
(\mathbf{x}_1 , \mathbf{x}_2 , … ,
\mathbf{x}_n )^\top, where the matrix \mathbf{x}_i,\,i=1,…,n for a given unit will
depend on the times of observation for that unit (j_i) and will have
number of rows j_i, each row corresponding to one of the j_i elements
of y_i and p columns where p is the number of covariates including
the unit first column to account for the intercept (except for ordinal regression where there is no intercept). This xdat matrix is
of dimension (N\times p), where N =∑_{i=1}^n j_i is the total
number of observations from all units.
ydat
(y_1 , y_2 , … , y_n )^\top, where
the response data vectors y_i,\,i=1,…,n
are of possibly different lengths for different units. In particular,
we now have that y_i is (j_i \times 1), where j_i is the number of
observations on unit i. The total number of observations from all units
is N =∑_{i=1}^n j_i. The ydat are the collection of data vectors
y_i, i = 1,…,n one from each unit which summarize all the data
together in a single, long vector of length N.
id
An index for individuals or clusters.
tvec
A vector with the time indicator of individuals or clusters.
margmodel
Indicates the marginal model.
Choices are “poisson” for Poisson, “bernoulli” for Bernoulli,
and “nb1” , “nb2” for the NB1 and NB2 parametrization
of negative binomial in Cameron and Trivedi (1998).
link
The link function.
Choices are “log” for the log link function, “logit” for
the logit link function, and “probit” for
the probit link function.
Details
If the W_{i,\rm working} are assumed fixed for the
second stage of solving the weighted scores equations
g_1= g_1(a)=∑_{i=1}^n X_i^T\, W_{i,\rm working}^{-1}\, s_i( a)=0,
the asymptotic covariance matrix of the
solution \widehat a_1 is
V_1=(-D_{g_1})^{-1}M_{g_1}(-D^T_{g_1})^{-1}
with
-D_{g_1} =∑_{i=1}^n X_i^T W_{i,\rm working}^{-1}Δ_i X_i,
M_{ g_1} = ∑_{i=1}^n X_i^T W_{i,\rm working}^{-1}
Ω_{i,\rm true}( W_{i,\rm working}^{-1})^T X_i,
where Ω_{i,\rm true} is the true covariance matrix of s_i(a).
The inverse of V_1 is known as
Godambe information matrix (Godambe, 1991).
Note that godambe.ord is a variant of the code for ordinal (probit and logistic) regression.
Value
The inverse Godambe matrix.
Author(s)
Aristidis K. Nikoloulopoulos A.Nikoloulopoulos@uea.ac.uk
Harry Joe harry.joe@ubc.ca
References
Godambe, V. P. (1991)
Estimating Functions.
Oxford: Oxford University Press
Nikoloulopoulos, A.K., Joe, H. and Chaganty, N.R. (2011)
Weighted scores method for regression models with dependent data.
Biostatistics, 12, 653–665. doi: 10.1093/biostatistics/kxr005.
Nikoloulopoulos, A.K. (2016)
Correlation structure and variable selection in generalized estimating equations via composite likelihood information criteria.
Statistics in Medicine, 35, 2377–2390. doi: 10.1002/sim.6871.
Nikoloulopoulos, A.K. (2017)
Weighted scores method for longitudinal ordinal data.
Arxiv e-prints, <arXiv:1510.07376>. https://arxiv.org/abs/1510.07376.
See Also
wtsc,
solvewtsc,
weightMat,
wtsc.wrapper
Examples
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# Poisson regression
################################################################################
################################################################################
# read and set up the data set
################################################################################
data(childvisit)
# covariates
season1<-childvisit$q
season1[season1>1]<-0
xdat<-cbind(1,childvisit$sex,childvisit$age,childvisit$m,season1)
# response
ydat<-childvisit$hosp
#id
id<-childvisit$id
#time
tvec<-childvisit$q
################################################################################
# select the marginal model
################################################################################
margmodel="poisson"
################################################################################
# select the correlation structure
################################################################################
corstr="exch"
################################################################################
# perform CL1 estimation
################################################################################
i.est<-iee(xdat,ydat,margmodel)
cat("\niest: IEE estimates\n")
print(c(i.est$reg,i.est$gam))
est.rho<-cl1(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,xdat,ydat,id,tvec,margmodel,corstr)
cat("\nest.rho: CL1 estimates\n")
print(est.rho$e)
################################################################################
# obtain the fixed weight matrices
################################################################################
WtScMat<-weightMat(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,rh=est.rho$e,
xdat,ydat,id,tvec,margmodel,corstr)
################################################################################
# obtain the weighted scores estimates
################################################################################
# solve the nonlinear system of equations
ws<-solvewtsc(start=c(i.est$reg,i.est$gam),WtScMat,xdat,ydat,id,
tvec,margmodel,link)
cat("ws=parameter estimates\n")
print(ws$r)
################################################################################
# obtain the inverse Godambe matrix
################################################################################
acov<-godambe(ws$r,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,margmodel)
cat("\nacov: inverse Godambe matrix with W based on first-stage wt
matrices\n")
print(acov)
################################################################################
# Ordinal regression
################################################################################
################################################################################
# read and set up data set
################################################################################
data(arthritis)
nn=nrow(arthritis)
bas2<-bas3<-bas4<-bas5<-rep(0,nn)
bas2[arthritis$b==2]<-1
bas3[arthritis$b==3]<-1
bas4[arthritis$b==4]<-1
bas5[arthritis$b==5]<-1
t2<-t3<-rep(0,nn)
t2[arthritis$ti==3]<-1
t3[arthritis$ti==5]<-1
xdat=cbind(t2,t3,arthritis$trt,bas2,bas3,bas4,bas5,arthritis$age)
ydat=arthritis$y
id<-arthritis$id
#time
tvec<-arthritis$time
################################################################################
# select the link
################################################################################
link="probit"
################################################################################
# select the correlation structure
################################################################################
corstr="exch"
################################################################################
# perform CL1 estimation
################################################################################
i.est<-iee.ord(xdat,ydat,link)
cat("\niest: IEE estimates\n")
print(c(i.est$reg,i.est$gam))
est.rho<-cl1.ord(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,xdat,ydat,id,tvec,corstr,link)
cat("\nest.rho: CL1 estimates\n")
print(est.rho$e)
################################################################################
# obtain the fixed weight matrices
################################################################################
WtScMat<-weightMat.ord(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,rh=est.rho$e,xdat,ydat,id,
tvec,corstr,link)
################################################################################
# obtain the weighted scores estimates
################################################################################
# solve the nonlinear system of equations
ws<-solvewtsc.ord(start=c(i.est$reg,i.est$gam),WtScMat,xdat,ydat,id,
tvec,link)
cat("ws=parameter estimates\n")
print(ws$r)
################################################################################
# obtain the inverse Godambe matrix
################################################################################
acov<-godambe.ord(ws$r,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,link)
cat("\nacov: inverse Godambe matrix with W based on first-stage wt
matrices\n")
print(acov)
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Description Usage Arguments Details Value Author(s) References See Also Examples
Description
Inverse Godambe matrix.
Usage
1 2 | godambe(param,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,margmodel,link)
godambe.ord(param,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,link)
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Arguments
param |
The weighted scores estimates of regression and not regression parameters. |
WtScMat |
A list containing the following components. omega: The array with the Ω_i,\,i=1,…,n matrices; delta: The array with the Δ_i,\,i=1,…,n matrices; X: The array with the X_i,\,i=1,…,n matrices. |
xdat |
(\mathbf{x}_1 , \mathbf{x}_2 , … , \mathbf{x}_n )^\top, where the matrix \mathbf{x}_i,\,i=1,…,n for a given unit will depend on the times of observation for that unit (j_i) and will have number of rows j_i, each row corresponding to one of the j_i elements of y_i and p columns where p is the number of covariates including the unit first column to account for the intercept (except for ordinal regression where there is no intercept). This xdat matrix is of dimension (N\times p), where N =∑_{i=1}^n j_i is the total number of observations from all units. |
ydat |
(y_1 , y_2 , … , y_n )^\top, where the response data vectors y_i,\,i=1,…,n are of possibly different lengths for different units. In particular, we now have that y_i is (j_i \times 1), where j_i is the number of observations on unit i. The total number of observations from all units is N =∑_{i=1}^n j_i. The ydat are the collection of data vectors y_i, i = 1,…,n one from each unit which summarize all the data together in a single, long vector of length N. |
id |
An index for individuals or clusters. |
tvec |
A vector with the time indicator of individuals or clusters. |
margmodel |
Indicates the marginal model. Choices are “poisson” for Poisson, “bernoulli” for Bernoulli, and “nb1” , “nb2” for the NB1 and NB2 parametrization of negative binomial in Cameron and Trivedi (1998). |
link |
The link function. Choices are “log” for the log link function, “logit” for the logit link function, and “probit” for the probit link function. |
Details
If the W_{i,\rm working} are assumed fixed for the second stage of solving the weighted scores equations
g_1= g_1(a)=∑_{i=1}^n X_i^T\, W_{i,\rm working}^{-1}\, s_i( a)=0,
the asymptotic covariance matrix of the solution \widehat a_1 is
V_1=(-D_{g_1})^{-1}M_{g_1}(-D^T_{g_1})^{-1}
with
-D_{g_1} =∑_{i=1}^n X_i^T W_{i,\rm working}^{-1}Δ_i X_i,
M_{ g_1} = ∑_{i=1}^n X_i^T W_{i,\rm working}^{-1} Ω_{i,\rm true}( W_{i,\rm working}^{-1})^T X_i,
where Ω_{i,\rm true} is the true covariance matrix of s_i(a). The inverse of V_1 is known as Godambe information matrix (Godambe, 1991).
Note that godambe.ord is a variant of the code for ordinal (probit and logistic) regression.
Value
The inverse Godambe matrix.
Author(s)
Aristidis K. Nikoloulopoulos A.Nikoloulopoulos@uea.ac.uk
Harry Joe harry.joe@ubc.ca
References
Godambe, V. P. (1991) Estimating Functions. Oxford: Oxford University Press
Nikoloulopoulos, A.K., Joe, H. and Chaganty, N.R. (2011) Weighted scores method for regression models with dependent data. Biostatistics, 12, 653–665. doi: 10.1093/biostatistics/kxr005.
Nikoloulopoulos, A.K. (2016) Correlation structure and variable selection in generalized estimating equations via composite likelihood information criteria. Statistics in Medicine, 35, 2377–2390. doi: 10.1002/sim.6871.
Nikoloulopoulos, A.K. (2017) Weighted scores method for longitudinal ordinal data. Arxiv e-prints, <arXiv:1510.07376>. https://arxiv.org/abs/1510.07376.
See Also
wtsc,
solvewtsc,
weightMat,
wtsc.wrapper
Examples
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# Poisson regression
################################################################################
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# read and set up the data set
################################################################################
data(childvisit)
# covariates
season1<-childvisit$q
season1[season1>1]<-0
xdat<-cbind(1,childvisit$sex,childvisit$age,childvisit$m,season1)
# response
ydat<-childvisit$hosp
#id
id<-childvisit$id
#time
tvec<-childvisit$q
################################################################################
# select the marginal model
################################################################################
margmodel="poisson"
################################################################################
# select the correlation structure
################################################################################
corstr="exch"
################################################################################
# perform CL1 estimation
################################################################################
i.est<-iee(xdat,ydat,margmodel)
cat("\niest: IEE estimates\n")
print(c(i.est$reg,i.est$gam))
est.rho<-cl1(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,xdat,ydat,id,tvec,margmodel,corstr)
cat("\nest.rho: CL1 estimates\n")
print(est.rho$e)
################################################################################
# obtain the fixed weight matrices
################################################################################
WtScMat<-weightMat(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,rh=est.rho$e,
xdat,ydat,id,tvec,margmodel,corstr)
################################################################################
# obtain the weighted scores estimates
################################################################################
# solve the nonlinear system of equations
ws<-solvewtsc(start=c(i.est$reg,i.est$gam),WtScMat,xdat,ydat,id,
tvec,margmodel,link)
cat("ws=parameter estimates\n")
print(ws$r)
################################################################################
# obtain the inverse Godambe matrix
################################################################################
acov<-godambe(ws$r,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,margmodel)
cat("\nacov: inverse Godambe matrix with W based on first-stage wt
matrices\n")
print(acov)
################################################################################
# Ordinal regression
################################################################################
################################################################################
# read and set up data set
################################################################################
data(arthritis)
nn=nrow(arthritis)
bas2<-bas3<-bas4<-bas5<-rep(0,nn)
bas2[arthritis$b==2]<-1
bas3[arthritis$b==3]<-1
bas4[arthritis$b==4]<-1
bas5[arthritis$b==5]<-1
t2<-t3<-rep(0,nn)
t2[arthritis$ti==3]<-1
t3[arthritis$ti==5]<-1
xdat=cbind(t2,t3,arthritis$trt,bas2,bas3,bas4,bas5,arthritis$age)
ydat=arthritis$y
id<-arthritis$id
#time
tvec<-arthritis$time
################################################################################
# select the link
################################################################################
link="probit"
################################################################################
# select the correlation structure
################################################################################
corstr="exch"
################################################################################
# perform CL1 estimation
################################################################################
i.est<-iee.ord(xdat,ydat,link)
cat("\niest: IEE estimates\n")
print(c(i.est$reg,i.est$gam))
est.rho<-cl1.ord(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,xdat,ydat,id,tvec,corstr,link)
cat("\nest.rho: CL1 estimates\n")
print(est.rho$e)
################################################################################
# obtain the fixed weight matrices
################################################################################
WtScMat<-weightMat.ord(b=i.est$reg,gam=i.est$gam,rh=est.rho$e,xdat,ydat,id,
tvec,corstr,link)
################################################################################
# obtain the weighted scores estimates
################################################################################
# solve the nonlinear system of equations
ws<-solvewtsc.ord(start=c(i.est$reg,i.est$gam),WtScMat,xdat,ydat,id,
tvec,link)
cat("ws=parameter estimates\n")
print(ws$r)
################################################################################
# obtain the inverse Godambe matrix
################################################################################
acov<-godambe.ord(ws$r,WtScMat,xdat,ydat,id,tvec,link)
cat("\nacov: inverse Godambe matrix with W based on first-stage wt
matrices\n")
print(acov)
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