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In DavideMassidda/testing: Psychometric Testing

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Standardizzazione dei punteggi

• Punti z e loro derivati
• Conversione da parametri normativi
  • Da grezzo a standardizzato
  • Da standardizzato a grezzo
• Conversione da tabelle normative

Un test deputato alla misura di un costrutto psicologico produce, di base, un punteggio che viene comunemente definito grezzo. Tale punteggio quantifica su una certa scala di misura il costrutto e la sua metrica può dipendere da molti fattori, quali la variabilità del fenomeno che cerca di catturare, la tipologia e il numero di prove che lo compongono, le convenzioni adottate nella letteratura di riferimento, scelte contestuali alla natura del test, ecc.

Inoltre, il test, se dotato di una taratura, contiene una serie di riferimenti normativi ottenuti a partire dai dati rilevati su un campione rappresentativo di una popolazione di interesse. Queste norme permettono di convertire il punteggio grezzo in uno standardizzato.

A differenza del punteggio grezzo, il punteggio standardizzato consente di localizzare la prestazione di un soggetto rispetto alla prestazione di una popolazione di riferimento. Tale punteggio è quindi generalmente adottato per verificare come il soggetto si colloca rispetto a uno standard. In particolare, nel caso di fenomeni che si assumono essere distribuiti normalmente, il punteggio standardizzato consente di localizzare il soggetto rispetto alla media della popolazione di riferimento.

Le norme dei test psicometrici sono comunemente basate o sulla distribuzione normale o sui ranghi percentili. Nel primo caso si assume che i dati osservati presentino delle peculiarità che rendono la distribuzione normale un buon modello di rappresentazione del fenomeno sottoposto a misura, mentre nel secondo caso le norme vengono calcolate prescindendo da uno specifico modello distributivo.

Punti z e loro derivati

Il più importante punteggio standardizzato è probabilmente il celebre punto z, che viene ottenuto centrando un valore osservato x rispetto alla media μ della popolazione di riferimento e riscalando il risultato per la deviazione standard σ della medesima popolazione:

z = (x - μ) / σ

Rispetto al valore grezzo, il punto z consente di capire immediatamente come un soggetto si colloca rispetto alla “norma”, rappresentata dalla prestazione al test della popolazione di riferimento.

Moltissime altre tipologie di punteggi non sono altro che una riscalatura dei punti z, ottenuta con la generica formula:

q = z * σnew + μnew

in cui μnew e σnew sono la nuova centratura e la nuova scala dei punteggi.

Tale formula viene adottata per ricentrare ed espandere la scala dei punteggi standardizzati così da renderli più interpretabili, facendo in modo che i valori possano essere agevolmente ricondotti all’insieme dei numeri naturali (ovvero numeri interi positivi). Queste riscalature consentono di escludere la possibilità che un punteggio risulti negativo o contenga una parte decimale, favorendo l’interpretazione clinica del valore. La precisa metrica del punteggio dipende poi da esigenze specifiche, esattamente come per il punteggio grezzo.

Il pacchetto testing implementa diverse opzioni per la scalatura dei punteggi:

| Codice | Punteggio | Media | Dev. St. | |:--------|:------------------------------|:------|:---------| | z | z Score | 0 | 1 | | T | T Score | 50 | 10 | | NCE | Normal Scale Equivalent Score | 50 | ≈ 21 | | IQ | Intelligence Quotient Score | 100 | 15 | | WSS | Wechsler Scaled Score | 10 | 3 | | Stanine | Standard-nine Score | 5 | 2 | | Sten | Standard-ten Score | 5.5 | 2 |

Conversione da parametri normativi

Consideriamo un ipotetico test dedicato alla misura di un’abilità cognitiva in età scolare, che può produrre un punteggio grezzo compreso fra 0 e 30. Nel dataset abilityTest sono contenuti i risultati ottenuti al test (colonna score) da un gruppo di bambini di 8 anni.

data("abilityTest")

head(abilityTest)

##   subject score errors
## 1       1    25      3
## 2       2    27      2
## 3       3     6      0
## 4       4     9      0
## 5       5    24      2
## 6       6     7      0

Supponiamo di conoscere la media μ e la deviazione standard σ dei punteggi ottenuti al test dalla popolazione di riferimento, rappresentata dai bambini di 8 anni. Salviamo i due valori nei due oggetti m e s:

m <- 16.96
s <- 4.13

Da grezzo a standardizzato

Per standardizzare i punteggi a partire dalla media e dalla deviazione standard normative, è possibile utilizzare la funzione std_score:

abilityTest$z_score <- std_score(abilityTest$score, m=m, s=s, scale="z")

Per utilizzare altri tipi di scalatura dei punteggi è possibile manipolare l’argomento scale, scegliendo l’opzione desiderata e all’occorrenza impostando l’argomento integer uguale a TRUE, così da arrotondare il punteggio risultante all’intero più vicino:

abilityTest$scaled <- std_score(abilityTest$score, m=m, s=s, scale="WSS", integer=TRUE)

head(abilityTest)

##   subject score errors   z_score scaled
## 1       1    25      3  1.946731     16
## 2       2    27      2  2.430993     17
## 3       3     6      0 -2.653753      2
## 4       4     9      0 -1.927361      4
## 5       5    24      2  1.704600     15
## 6       6     7      0 -2.411622      3

Da standardizzato a grezzo

Grazie alla funzione inversa:

x = μ + σ (q - μnew) / σnew

È possibile riottenere il punteggio grezzo corrispondente a un certo valore standardizzato. Questa operazione è implementata nella funzione raw_score:

raw_score(abilityTest$scaled, m=m, s=s, scale="WSS", integer=TRUE)

##  [1] 25 27  6  9 24  7 25 18 25  9  0 11 16 24  0 22 17 16 25  6 27  7 29  5  5
## [26] 18 16 11 22 17

Conversione da tabella normativa

In alcuni casi i parametri normativi di media e deviazione standard non sono disponibili e l’unica possibilità di standardizzare un punteggio grezzo prevede di appoggiarsi a una tabella normativa.

Immaginiamo di avere a disposizione la tabella normativa del test che contiene i punteggi grezzi corrispondenti a ogni punteggio standardizzato, per ogni fascia d’età:

data("normTab")

show(normTab)

##        6     7     8     9    10
## 19 20-30 25-30 29-30  <NA>  <NA>
## 18    19    24 27-28  <NA>  <NA>
## 17 17-18 22-23    26    30    30
## 16    16    21    25    29    29
## 15 14-15 19-20 23-24 27-28    28
## 14    13    18    22    26    27
## 13 11-12 16-17    21 24-25    26
## 12    10    15 19-20    23 24-25
## 11     9 13-14    18 21-22    23
## 10   7-8    12 16-17    20    22
## 9      6 10-11    15    19    21
## 8    4-5     9    14 17-18    20
## 7      3   7-8 12-13    16 18-19
## 6    1-2     6    11 14-15    17
## 5   <NA>   4-5    10    13    16
## 4   <NA>   2-3   8-9 11-12    15
## 3   <NA>     1     7    10 13-14
## 2   <NA>  <NA>   5-6     9    12
## 1      0     0   0-4   0-8  0-11

Nella tabella, i nomi delle righe riportano la sequenza di punteggi grezzi ottenibili al test, mentre i nomi delle colonne indicano a quale fascia d’età fa riferimento ogni vettore di punteggi grezzi.

La funzione raw2std converte un punteggio grezzo in punteggio standardizzato utilizzando come riferimento una tabella normativa. Oltre al vettore di punteggi grezzi da standardizzare, la funzione richiede due argomenti obbligatori:

• raw.norm: vettore di punteggi grezzi estratto della tabella normativa;

• std.norm: vettore di punteggi standardizzati estratto dalla tabella normativa.

Dato che i dati osservati sono stati raccolti somministrando il test a bambini di 8 anni, utilizziamo la norma per questa fascia d’età come riferimento:

raw2std(abilityTest$score, std.norm=rownames(normTab), raw.norm=normTab[,"8"])

##  [1] 16 18  2  4 15  3 16 11 16  4  1  6 10 15  1 14 10  9 16  2 17  4 19  2  2
## [26] 11 10  7 15 10

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