R/GrandTour_English.R

In Pursuit: Projection Pursuit

GrandTour <- function(data, method = "Interpolation", title = NA, xlabel = NA, ylabel = NA,
                      size = 1.1, grid = TRUE, color = TRUE, linlab = NA, class = NA,  
                      classcolor = NA, posleg = 2, boxleg = TRUE, axesvar = TRUE, 
                      axes = TRUE, numrot = 200, choicerot = NA, savptc = FALSE, 
                      width = 3236, height = 2000, res = 300) {
  
  # Esta funcao executa a rotacao dos dados multivariados em baixa dimensao
  # basea-se nos artigos de: Asimov, D. . The Grand Tour: A Tool for Viewing
  # Multidimensional data, SIAM Journal of Scientific and Statistical Computing
  # 6(1), 128-143, 1985., Asimov, D. and A. Buja. 1994. The grand tour via 
  # geodesic interpolation of 2-frames,. in Visual data Exploration and Analysis,
  # Symposium on Electronic Imaging Science and Technology, IS&T/SPIE, E Wegman, E.
  # J. and J. Shen. 1993. Three-dimensional Andrews plots and the grand
  # tour, Proceedings of the 25th Symposium on the Interface, 284-288.
  # by Paulo Cesar Ossani in 2017/03/31
  
  # Entrada:
  # data   - Conjunto de dados numericos.
  # method - Metodo usado para as rotacoes:
  #          "Interpolation" - Metodo Interpolation (default),
  #          "Torus" - Metodo Torus,
  #          "Pseudo" - Metodo Pseudo Grand Tour.
  # title   - Titulo para os graficos, se omitido retorna default.
  # xlabel  - Nomeia o eixo X, se nao definido retorna padrao.
  # ylabel  - Nomeia o eixo Y, se nao definido retorna padrao.
  # size    - Tamanho dos pontos nos graficos.
  # grid    - Coloca grade nos graficos.
  # color   - Graficos coloridos (default = TRUE).
  # linlab  - Vetor com os rotulos para as observacoes.
  # class   - Vetor com os nomes das classes dos dados.
  # classcolor - Vetor com as cores das classes.
  # posleg  - 0 sem legenda,
  #           1 para legenda no canto superior esquerdo,
  #           2 para legenda no canto superior direito (default),
  #           3 para legenda no canto inferior direito,
  #           4 para legenda no canto inferior esquerdo.  
  # boxleg  - Colocar moldura na legenda (default = TRUE).
  # axesvar - Coloca eixos de rotacao das variaveis (default = TRUE).
  # axes    - Plota os eixos X e Y (default = FALSE).
  # numrot  - Numero de rotacoes (default = 200).
  #           Se method = "Interpolation", numrot representara o angulo de rotacao.
  # choicerot - Escolhe rotacao especifica e apresenta na tela,
  #             ou salva a imagem se savptc = TRUE.
  # savptc - Salva as imagens dos graficos em arquivos (default = FALSE).
  # width  - Largura do grafico quanto savptc = TRUE (defaul = 3236).
  # height - Altura do grafico quanto savptc = TRUE (default = 2000).
  # res    - Resolucao nominal em ppi do grafico quanto savptc = TRUE (default = 300).
  
  # Retorna:
  # Graficos com as rotacoes.
  # proj.data  - Dados projetados.
  # vector.opt - Vetor projecao.
  # method     - Metodo usado no Grand Tour.
  
  if (!is.data.frame(data))
     stop("'data' input is incorrect, it should be of type data frame. Verify!")

  if (!is.na(class[1])) {
    
    class <- as.matrix(class)
    
    if (nrow(data) != length(class))
      stop("'class' or 'data' input is incorrect, they should contain the same number of lines. Verify!")
  }
  
  method <- toupper(method) # transforma em maiusculo

  if (!(method %in% c("TORUS", "INTERPOLATION", "PSEUDO")))
     stop("'method' input is incorrect, it should be: 'Interpolation', 'Torus' or 'Pseudo'. Verify!")

  if (!is.character(title) && !is.na(title[1]))
     stop("'title' input is incorrect, it should be of type character or string. Verify!")
  
  if (!is.numeric(posleg) || posleg < 0 || posleg > 4 || (floor(posleg)-posleg) != 0)
     stop("'posleg' input is incorrect, it should be a integer number between [0,4]. Verify!")
  
  if (!is.numeric(size) || size < 0)
     stop("'size' input is incorrect, it should be numerical and greater than zero. Verify!")
  
  if (!is.logical(grid))
     stop("'grid' input is incorrect, it should be TRUE or FALSE. Verify!")
  
  if (!is.logical(color))
     stop("'color' input is incorrect, it should be TRUE or FALSE. Verify!")
  
  if (!is.logical(boxleg)) 
     stop("'boxleg' input is incorrect, it should be TRUE or FALSE. Verify!")

  if (!is.na(linlab[1]) && length(linlab)!=nrow(data))
     stop("'linlab' input is incorrect, it should be the same number of rows as the input data in 'data'. Verify!")
  
  if (!is.logical(axesvar))
     stop("'axesvar' input is incorrect, it should be TRUE or FALSE. Verify!")

  if (!is.logical(axes)) 
     stop("'axes' input is incorrect, it should be TRUE or FALSE. Verify!")
  
  if (!is.numeric(numrot) || numrot < 1)
      stop("'numrot' input is incorrect, it should be integer number greater than zero. Verify!")
      
  if (!is.na(choicerot[1])) {
     if (!is.numeric(choicerot) ||  choicerot < 1)
        stop("'choicerot' input is incorrect, it should be integer number greater than zero. Verify!")
    
     if (numrot < choicerot)
        stop("numrot < choicerot, numrot should be greater than or equal to choicerot. Verify!")
  }

  if (!is.logical(savptc))
     stop("'savptc' input is incorrect, it should be TRUE or FALSE. Verify!")

  if (!is.numeric(width) || width <= 0)
     stop("'width' input is incorrect, it should be numerical and greater than zero. Verify!")
  
  if (!is.numeric(height) || height <= 0)
     stop("'height' input is incorrect, it should be numerical and greater than zero. Verify!")
  
  if (!is.numeric(res) || res <= 0)
     stop("'res' input is incorrect, it should be numerical and greater than zero. Verify!")
  
  if (!is.character(xlabel) && !is.na(xlabel[1]))
     stop("'xlabel' input is incorrect, it should be of type character or string. Verify!")
  
  if (!is.character(ylabel) && !is.na(ylabel[1]))
     stop("'ylabel' input is incorrect, it should be of type character or string. Verify!")
  
  if (is.na(xlabel[1]))
     xlabel = "X-axis" 
  
  if (is.na(ylabel[1]))
     ylabel = "Y-axis"

  if (posleg==1) posleg = "topleft"   # posicao das legendas nos graficos
  if (posleg==2) posleg = "topright"
  if (posleg==3) posleg = "bottomright"
  if (posleg==4) posleg = "bottomleft"
  
  boxleg = ifelse(boxleg,"o","n") # moldura nas legendas, "n" sem moldura, "o" com moldura
  
  d <- 2 # dimensao de projecao
  
  Num.class = 0
  if (!is.na(class[1])) {
    class.Table <- table(class)        # cria tabela com as quantidade dos elementos das classes
    class.Names <- names(class.Table)  # nomes das classses
    Num.class   <- length(class.Table) # numero de classes
    NomeLinhas  <- as.matrix(class)
  } 
  
  if (Num.class != 0 && length(classcolor) != Num.class && !is.na(classcolor) ||
      Num.class == 0 && length(classcolor) != 1 && !is.na(classcolor))
     stop("'classcolor' input is incorrect, it should be in an amount equal to the number of classes in 'class'. Verify!")
  
  if (method == "TORUS") {
    
    # O codigo seguinte foi transladado do codigo em Matlab encontrado no Livro de
    # Wendy L. Martinez, Angel Martinez, Jeffrey Solka-Exploratory data Analysis
    # with MATLAB, Second Edition-CRC Press (2010) paginas 128-129 Example 4.1
    
    n <- nrow(data)
    
    p <- ncol(data)
    
    N <- 2 * p - 3 # configurar o vetor de frequencias
    
    DivRest <- exp(1:N) %% 1 # encontra o resto da divisao
    
    NumIrr = exp(-5) # pequeno numero irracional
    
    # indice de rotacao
    J <- 2:p;
    I <- rep(1,length(J))
    I <- c(I, 2*rep(1,length(J)-1))
    J <- c(J, 3:p)
    
    BasicVector <- diag(1, p, d) # vetor basico para a rotacao
    
    numrot <- ifelse(is.na(choicerot[1]), numrot, choicerot)
    
    if (savptc) {
      cat("\014") # limpa a tela
      cat("\n\n Saving graphics to hard disk. Wait for the end!")
    }
    
    i <- 1
    while (i <= numrot) { # Inicializa o Grand Tour
      
      cor <- 1 # cor inicial dos pontos e legendas
      
      IndVector <- diag(1, p) # vetor identidade
      
      for (j in 1:N) { # encontra a matriz de rotacao
        
        MP <- diag(1, p)
        MP[I[j],J[j]] <-  cos(DivRest[j] * i * NumIrr)
        MP[J[j],I[j]] <-  cos(DivRest[j] * i * NumIrr)
        MP[I[j],J[j]] <- -sin(DivRest[j] * i * NumIrr)
        MP[J[j],I[j]] <-  sin(DivRest[j] * i * NumIrr)
        
        IndVector <- IndVector %*% MP
        
      }
      
      A <- IndVector %*% BasicVector # rotaciona o vetor base
      
      proj.data <- as.matrix(data) %*% A # projecao em direcao a nova base
      
      if (is.na(choicerot[1]) || choicerot == i) {
        
        if (savptc) png(filename = paste("Picture ", i," - Method", method,".png",step=""), width = width, height = height, res = res) # salva os graficos em arquivos
        
        maxX = max(proj.data[, 1], A[,1])
        minX = min(proj.data[, 1], A[,1])
        maxY = max(proj.data[, 2], A[,2])
        minY = min(proj.data[, 2], A[,2])
        
        Tit <- ifelse(!is.character(title) || is.na(title[1]), paste("Rotation:", i), title)
        
        if (!is.na(classcolor[1])) {
           cor.classe <- classcolor
        }
        else { cor.classe <- c("blue") }
        
        plot(proj.data, # coordenadas do grafico
             xlab = xlabel, # Nomeia Eixo X
             ylab = ylabel, # Nomeia Eixo Y
             type = "n",    # nao plota pontos
             main = Tit,    # Titulo para o grafico
             xlim = c(minX,maxX), # dimensao eixo X
             ylim = c(minY,maxY)) # dimensao eixo Y
        
        if (grid) {
          
          args <- append(as.list(par('usr')), c('gray93','gray93'))
          
          names(args) <- c('xleft', 'xright', 'ybottom', 'ytop', 'col', 'border')
          
          do.call(rect, args) # chama a funcao rect com os argumentos (args)
          
          grid(col = "white", lwd = 2, lty = 7, equilogs = T)
          
        }
        
        if (Num.class == 0) {
           points(proj.data, # coordenadas do grafico
                  pch  = 16,  # formato dos pontos
                  cex = size,  # Tamanho dos pontos 
                  col = ifelse(color, cor.classe, "Black"))
          
        } else {
          
          Init.Form <- 14 # formato inicial dos pontos
          
          for (k in 1:Num.class) {
            
            Point.Form <- Init.Form + k # fomato dos pontos de cada classe
    
            if (!is.na(classcolor[1])) {
               cor1 <- ifelse(color, cor.classe[k], "black")
            }
            else { cor1 <- ifelse(color, cor + k, "black") }
            
            Point.data <- proj.data[which(class == class.Names[k]),]
            
            points(Point.data,
                   pch = Point.Form, # Formato dos pontos
                   cex = size,  # Tamanho dos pontos
                   col = cor1) # adiciona ao grafico as coordenadas principais das colunas
          }
          
        }  
        
        if (!is.na(linlab[1])) LocLab(proj.data, cex = size, linlab)
        
        if (axes) abline(h = 0, v = 0, cex = 1.5, lty = 2) # cria o eixo central
        
        if (axesvar) { # plota os eixos das variaveis
          
          Ajuste <- c(diff(range(proj.data[,1])) / 2 + min(proj.data[,1]),
                      diff(range(proj.data[,2])) / 2 + min(proj.data[,2]))
          
          PosVar <- cbind(A[,1] + Ajuste[1], A[,2] + Ajuste[2]) # Posicao para as variaveis no grafico
          
          arrows(Ajuste[1], Ajuste[2], PosVar[,1], PosVar[,2],
                 lty = 1, code = 2, length = 0.08, angle = 25,
                 col = ifelse(color, "Red", "Black"))
          
          LocLab(PosVar, cex = 1, colnames(data), xpd = TRUE)
          
        }
        
        if (posleg != 0 && Num.class > 0) {
          
          if (color) cor <- 2
          
          Init.Form <- 15 # codigo formato ponto inicial
          
          cor <- ifelse(color, 2, 1)
          
          if (color) {
             if (!is.na(classcolor[1])) {
                color_b <- classcolor
             }
             else { color_b <- cor:(cor + Num.class) }
          }
          else { color_b <- cor }
          
          legend(posleg, class.Names, pch = (Init.Form):(Init.Form + Num.class), col = color_b,
                 text.col = color_b, bty = boxleg, text.font = 6, y.intersp = 0.8, xpd = TRUE) # cria a legenda
        }
        
        if (savptc) { box(col = 'white'); dev.off() }
        
        Sys.sleep(0.05) # tempo entre as plotagens dos graficos
        
      }
      
      i <- i + 1
      
    }
    
    if (savptc) cat("\n \n End!")
    
  }
  
  
  if (method == "PSEUDO") {
    
    # O codigo seguinte foi transladado do codigo em Matlab encontrado no Livro de
    # Wendy L. Martinez, Angel Martinez, Jeffrey Solka-Exploratory data Analysis
    # with MATLAB, Second Edition-CRC Press (2010) paginas 131-132 Example 4.2
    
    n <- nrow(data)
    
    p <- ncol(data)
    
    DivRest <- exp(1:p) %% 1 # encontra o resto da divisao
    
    NumIrr = exp(-5)   # pequeno numero irracional
    
    coefic = sqrt(2/p) # pequeno numero irracional
    
    a <- matrix(0, p, 1) # matriz de rotacao
    b <- matrix(0, p, 1) # matriz de rotacao
    
    if (savptc) {
       cat("\014") # limpa a tela
       cat("\n\n Saving graphics to hard disk. Wait for the end!")
    }
    
    numrot <- ifelse(is.na(choicerot[1]), numrot, choicerot)
    
    t <- (1:numrot) * NumIrr
    
    i <- 1
    while (i <= length(t)) { # Inicializa o Grand Tour
      
      cor <- 1 # cor inicial dos pontos e legendas
      
      for(j in 1:(p/2)) { # encontra a matriz de rotacao
        a[2*(j-1)+1] = coefic * sin(DivRest[j] * t[i]);
        a[2*j]       = coefic * cos(DivRest[j] * t[i]);
        b[2*(j-1)+1] = coefic * cos(DivRest[j] * t[i]);
        b[2*j]       = coefic * (-sin(DivRest[j] * t[i]));
      }
      
      A <- cbind(a, b) # vetor projecao
      
      proj.data <- as.matrix(data) %*% A; # projecao
      
      if (is.na(choicerot[1]) || choicerot == i) {
        
        if (savptc) png(filename = paste("Picture ", i," - Method", method,".png",step=""), width = width, height = height, res = res) # salva os graficos em arquivos
        
        maxX = max(proj.data[, 1], A[,1])
        minX = min(proj.data[, 1], A[,1])
        maxY = max(proj.data[, 2], A[,2])
        minY = min(proj.data[, 2], A[,2])
        
        Tit <- ifelse(!is.character(title) || is.na(title[1]), paste("Rotation:", i), title)
        
        if (!is.na(classcolor[1])) {
           cor.classe <- classcolor
        }
        else { cor.classe <- c("blue") }
        
        plot(proj.data, # coordenadas do grafico
             xlab = xlabel, # Nomeia Eixo X
             ylab = ylabel, # Nomeia Eixo Y
             type = "n",    # nao plota pontos
             main = Tit,    # Titulo para o grafico
             xlim = c(minX,maxX), # dimensao eixo X
             ylim = c(minY,maxY)) # dimensao eixo Y
        
        if (grid) {
          
          args <- append(as.list(par('usr')), c('gray93','gray93'))
          
          names(args) <- c('xleft', 'xright', 'ybottom', 'ytop', 'col', 'border')
          
          do.call(rect, args) # chama a funcao rect com os argumentos (args)
          
          grid(col = "white", lwd = 2, lty = 7, equilogs = T)
          
        }
        
        if (Num.class == 0) {
           points(proj.data, # coordenadas do grafico
                  pch  = 16,  # formato dos pontos
                  cex = size,  # Tamanho dos pontos 
                  col = ifelse(color, cor.classe, "Black"))
           
        } else {

          Init.Form <- 14 # formato inicial dos pontos
          
          for (k in 1:Num.class) {
            
            Point.Form <- Init.Form + k # fomato dos pontos de cada classe
            
            if (!is.na(classcolor[1])) {
               cor1 <- ifelse(color, cor.classe[k], "black")
            }
            else { cor1 <- ifelse(color, cor + k, "black") }
            
            Point.data <- proj.data[which(class == class.Names[k]),]
            
            points(Point.data,
                   pch = Point.Form, # Formato dos pontos
                   cex = size,  # Tamanho dos pontos
                   col = cor1) # adiciona ao grafico as coordenadas principais das colunas
          }
          
        }  
        
        if (!is.na(linlab[1])) LocLab(proj.data, cex = size, linlab)
        
        if (axes) abline(h = 0, v = 0, cex = 1.5, lty = 2) # cria o eixo central
        
        if (axesvar) { # plota os eixos das variaveis
          
          Ajuste <- c(diff(range(proj.data[,1])) / 2 + min(proj.data[,1]),
                      diff(range(proj.data[,2])) / 2 + min(proj.data[,2]))
          
          PosVar <- cbind(A[,1] + Ajuste[1], A[,2] + Ajuste[2]) # Posicao para as variaveis no grafico
          
          arrows(Ajuste[1], Ajuste[2], PosVar[,1], PosVar[,2],
                 lty = 1, code = 2, length = 0.08, angle = 25,
                 col = ifelse(color, "Red", "Black"))
          
          LocLab(PosVar, cex = 1, colnames(data), xpd = TRUE)
          
        }
        
        if (posleg != 0 && Num.class > 0) {
          
          if (color) cor <- 2
          
          Init.Form <- 15 # codigo formato ponto inicial
          
          cor <- ifelse(color, 2, 1)
          
          if (color) {
             if (!is.na(classcolor[1])) {
                color_b <- classcolor
             }
             else { color_b <- cor:(cor + Num.class) }
          }
          else { color_b <- cor }
          
          legend(posleg, class.Names, pch = (Init.Form):(Init.Form + Num.class), col = color_b,
                 text.col = color_b, bty = boxleg, text.font = 6, y.intersp = 0.8, xpd = TRUE) # cria a legenda
        }
        
        if (savptc) { box(col = 'white'); dev.off() }
        
        Sys.sleep(0.05) # tempo entre as plotagens dos graficos
        
      }
      
      i <- i + 1
      
    }
    
    if (savptc) cat("\n \n End!")
    
  }  
  
  
  if (method == "INTERPOLATION") {
    
    # O codigo seguinte foi transladado do codigo em Matlab encontrado no Livro de 
    # Wendy L. Martinez, Angel Martinez, Jeffrey Solka-Exploratory data Analysis 
    # with MATLAB, Second Edition-CRC Press (2010) paginas 134 Example 4.3
    
    n <- nrow(data) 
    
    p <- ncol(data)
    
    v1 <- 1:floor(p/2)  
    
    v2 <- (max(v1) + 1):p
    
    dataNorm <- scale(data, center = TRUE, scale = TRUE) # normaliza os dados
    
    Newdata <- rbind(dataNorm, diag(p))
    
    theta = (0:numrot) * pi/180 # rotacoes
    
    PC <- eigen(cov(dataNorm)) # Encontra os componentes principais
    
    AutVec <- PC$vectors[,p:1] # veja que os autovetores sao os dos menores autovalores para os maiores
    
    Vector1 <- Newdata %*% AutVec[,v1] # projecao
    Vector2 <- Newdata %*% AutVec[,v2] # projecao
    
    proj.data  <- cbind(Vector1, Vector2) # dados projetados
    
    # iguala o numero de colunas dos vetores caso sejam diferentes
    if (length(v1) != length(v2)) {
      if (length(v1) < length(v2)) {
         Vector1 <- cbind(Vector1,Vector2[,1])
      } else Vector2 <- cbind(Vector2,Vector1[,1])
    }
    
    cp.v <- ncol(Vector1) 
    
    numrot <- ifelse(is.na(choicerot[1]), numrot, choicerot)
    
    if (savptc) {
       cat("\014") # limpa a tela 
       cat("\n\n Saving graphics to hard disk. Wait for the end!")
    }
    
    i <- 1  
    while (i <= numrot) { # Inicializa o Grand Tour
      
      cor <- 1 # cor inicial dos pontos e legendas
      
      if (i > 1) # novas projecoes
         proj.data = Vector1 %*% diag(1,cp.v) * cos(theta[i]) + Vector2 %*% diag(1,cp.v) * sin(theta[i])
      
      if (is.na(choicerot[1]) || choicerot == i) {
        
        if (savptc) png(filename = paste("Picture ", i," - Method", method,".png",step=""), width = width, height = height, res = res) # salva os graficos em arquivos
        
        maxX = max(proj.data[, 1])
        minX = min(proj.data[, 1])
        maxY = max(proj.data[, 2])
        minY = min(proj.data[, 2])
        
        Tit <- ifelse(!is.character(title) || is.na(title[1]), paste("Rotation:", i), title)
        
        if (!is.na(classcolor[1])) {
           cor.classe <- classcolor
        }
        else { cor.classe <- c("blue") }
        
        plot(proj.data, # coordenadas do grafico
             xlab = xlabel, # Nomeia Eixo X
             ylab = ylabel, # Nomeia Eixo Y
             type = "n",    # nao plota pontos
             main = Tit,    # Titulo para o grafico
             xlim = c(minX,maxX), # dimensao eixo X
             ylim = c(minY,maxY)) # dimensao eixo Y
        
        if (grid) {
          
          args <- append(as.list(par('usr')), c('gray93','gray93'))
          
          names(args) <- c('xleft', 'xright', 'ybottom', 'ytop', 'col', 'border')
          
          do.call(rect, args) # chama a funcao rect com os argumentos (args)
          
          grid(col = "white", lwd = 2, lty = 7, equilogs = T)
          
        }
        
        if (Num.class == 0) {
           points(proj.data, # coordenadas do grafico
                  pch  = 16,  # formato dos pontos
                  cex = size,  # Tamanho dos pontos 
                  col = ifelse(color, cor.classe, "Black"))
          
        } else {

          Init.Form <- 14 # formato inicial dos pontos
          
          for (k in 1:Num.class) {
            
            Point.Form <- Init.Form + k # fomato dos pontos de cada classe
            
            if (!is.na(classcolor[1])) {
               cor1 <- ifelse(color, cor.classe[k], "black")
            }
            else { cor1 <- ifelse(color, cor + k, "black") }
            
            Point.data <- proj.data[which(class == class.Names[k]),]
            
            points(Point.data,
                   pch = Point.Form, # Formato dos pontos
                   cex = size, # Tamanho dos pontos
                   col = cor1) # adiciona ao grafico as coordenadas principais das colunas
          }
          
        }  
        
        if (!is.na(linlab[1])) LocLab(proj.data[1:n,], cex = size, linlab)
        
        if (axes) abline(h = 0, v = 0, cex = 1.5, lty = 2) # cria o eixo central
        
        if (axesvar) { # plota os eixos das variaveis
          
           PosVar <- cbind(proj.data[(n + 1):(n + p),1],proj.data[(n + 1):(n + p),2]) # vetor projecao - coordenadas para os nomes das variaveis
           
           arrows(0,0, PosVar[,1], PosVar[,2],
                  lty = 1, code = 2, length = 0.08, angle = 25,
                  col = ifelse(color, "Red", "Black"))
          
           LocLab(PosVar, cex = 1, colnames(data), xpd = TRUE)
          
        }
        
        if (posleg != 0 && Num.class > 0) {
          
          if (color) cor <- 2
          
          Init.Form <- 15 # codigo formato ponto inicial
          
          cor <- ifelse(color, 2, 1)
          
          if (color) {
             if (!is.na(classcolor[1])) {
                color_b <- classcolor
             }
             else { color_b <- cor:(cor + Num.class) }
          }
          else { color_b <- cor }
          
          legend(posleg, class.Names, pch = (Init.Form):(Init.Form + Num.class), col = color_b,
                 text.col = color_b, bty = boxleg, text.font = 6, y.intersp = 0.8, xpd = TRUE) # cria a legenda
        }
        
        if (savptc) { box(col = 'white'); dev.off() }
        
        Sys.sleep(0.05) # tempo entre as plotagens dos graficos
        
      }
      
      i <- i + 1
      
    }
    
    A <- cbind(proj.data[(n + 1):(n + p),1], proj.data[(n + 1):(n + p),2]) # vetor projecao
    
    proj.data <- proj.data[1:n,1:d] # dados projetados
    
    if (savptc) cat("\n \n End!")
    
  }
  
  rownames(proj.data)  <- rownames(data)
  
  colnames(proj.data) <- c(paste("Projection", 1:(ncol(proj.data))))

  rownames(A) <- colnames(data)

  colnames(A) <- c(paste("axes", 1:(ncol(A))))
  
  Lista <- list(proj.data = proj.data, vector.opt = A, method = method)
  
  return(Lista)
  
}